theo đề ta có: \(x+y+z=0\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\cdot\left(xy+yz+zx\right)=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\left(1\right)\)

ta co: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

mà x + y + z = 0

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\left(2\right)\)

a. VT = \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)

ta có: \(\left(xy+yz+zx\right)^2=\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)+2xyz\cdot\left(x+y+z\right)\)

vì x+y+z=0 nên: \(\left(xy+yz+zx\right)^2=\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)

từ (1) ta có: \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\left\lbrack-2\left(xy+yz+zx\right)^{}\right\rbrack^2\) (*)

\(=4\cdot\left(xy+yz+zx\right)^2=4\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

ta có: \(4\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)=x^4+y^4+z^4+2\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

mà: \(2\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)=x^4+y^4+z^4\)

thay vào (*) ta được:

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\left(x^4+y^4+z^4\right)+2\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

\(=x^4+y^4+z^4+x^4+y^4+z^4=2\cdot\left(x^4+y^4+z^4\right)=VP\)

⇒ đpcm

b. \(VT=5\cdot\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(=5\cdot\left(3xyz\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(=15xyz\cdot\left(x^2+y^2+z^2\right)\) (3)

\(x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z\)

\(x^5+y^5+z^5=x^5+y^5+\left\lbrack-\left(x+y\right)\right\rbrack^5=x^5+y^5-\left(x+y\right)^5\)

\(=x^5+y^5-\left(x^5+5y^4+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5\right)\)

\(=-5x^4y-10x^3y^2-10x^2y^3-5xy^4\)

\(=-5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)\)

\(=-5xy\left\lbrack x^3+y^3+2xy\left(x+y\right)\right\rbrack\)

\(=-5xy\left\lbrack\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+Y\right)+2xy\left(x+y\right)\right\rbrack\)

\(=-5xy\left\lbrack\left(x+Y\right)^3-xy\left(x+y\right)\right\rbrack\)

\(=-5xy\left(x+Y\right)\left\lbrack\left(x+y\right)^2-xy\right\rbrack\)

vì x+y=-z nên ta có:

\(x^5+y^5+z^5=-5xy\left(-z\right)\left\lbrack\left(-z\right)^2-xy\right\rbrack=5xyz\left(x^2-zy\right)\)

mặt khác \(x+y=-z\Rightarrow\left(x+y\right)^2=z^2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=z^2\)

\(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+\left(x+y\right)^2\)

\(=x^2+y^2+x^2+2xy+y^2=2\cdot\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(z^2-xy=\left(x+y\right)^2-xy=x^2+2xy+y^2-xy=x^2+xy+y^2\)

vậy \(x^5+y^5+z^5=5xyz\cdot\left(x^2+xy+y^2\right)=\frac52xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow2\cdot\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

⇒ \(6\cdot\left(x^5+y^5+z^5\right)=15xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\) (4)

từ (3) và (4) ⇒ VT = VP

câu c: phần này đã được chứng minh nằm trong câu b nha bạn

\(x+y+z=0\rArr\left(x+y+z\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=0\)

\(\rArr x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=0\)

\(\rArr x^2+y^2+z^2=0\) (do \(xy+yz+xz=0\) )

\(\rArr x=y=z=0\)

Do đó:

\(\left(x-1\right)^{2023}+y^{2024}+\left(z+1\right)^{2025}=\left(0-1\right)^{2023}+0^{2024}+\left(0+1\right)^{2025}=-1+0+1=0\)

Bài 2:

a: ĐKXĐ: x∉{2;-2}

b: \(A=\frac{3x}{x-2}-\frac{2}{x+2}+\frac{2x-4}{x^2-4}\)

\(=\frac{3x}{x-2}-\frac{2}{x+2}+\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{3x}{x-2}-\frac{2}{x+2}+\frac{2}{x+2}=\frac{3x}{x-2}\)

c: Thay x=-5 vào A, ta được:

\(A=\frac{3\cdot\left(-5\right)}{-5-2}=\frac{-15}{-7}=\frac{15}{7}\)

d: Để A nguyên thì 3x⋮x-2

=>3x-6+6⋮x-2

=>6⋮x-2

=>x-2∈{1;-1;2;-2;3;-3;6-6}

=>x∈{1;2;4;0;5;-1;8;-4}

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x∈{1;4;0;5;-1;8;-4}

Bài 1:

a: \(A=x^2+10x+25\)

\(=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=\left(x+5\right)^2\)

b: \(B=x^2-y^2+8x-8y\)

=(x-y)(x+y)+8(x-y)

=(x-y)(x+y+8)

c: \(C=x^2+4x-5\)

\(=x^2+5x-x-5\)

=x(x+5)-(x+5)

=(x+5)(x-1)

a: Xét ΔABC có F,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>FE là đường trung bình của ΔABC

=>FE//BC và \(FE=\frac12BC\)

=>BFEC là hình thang

Hình thang BFEC có \(\hat{FBC}=\hat{ECB}\) (ΔABC cân tại A)

nên BFEC là hình thang cân

b: Xét ΔABC có

F,D lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>FD là đường trung bình của ΔABC

=>FD//AC và \(FD=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔMAC có

I,K lần lượt là trung điểm của MA,MC

=>IK là đường trung bình củaΔMAC

=>IK//AC và \(IK=\frac{AC}{2}\)

Ta có: FD//AC

IK//AC

Do đó: FD//IK

Ta có: \(FD=\frac{AC}{2}\)

\(IK=\frac{AC}{2}\)

Do đó: FD=IK

Xét tứ giác FDKI có

FD//IK

FD=IK

Do đó: FDKI là hình bình hành

c: HK=HM+KM

\(=\frac12\cdot\left(MB+MC\right)=\frac12\cdot BC\)

=FE

Xét tứ giác FEKH có

FE//KH

FE=KH

Do đó: FEKH là hình bình hành

=>FK cắt EH tại trung điểm của mỗi đường(1)

FDKI là hình bình hành

=>FK cắt DI tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra FK,EH,DI đồng quy

d: ΔABC đều

mà AD là đường trung tuyến

nên AD là phân giác của góc BAC và AD⊥BC

=>\(\hat{BAD}=\frac12\cdot\hat{BAC}=\frac12\cdot60^0=30^0\)

Xét tứ giác APMD có \(\hat{APM}+\hat{ADM}=90^0+90^0=180^0\)

nên APMD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM

=>APMD nội tiếp (I)

Xét (I) có \(\hat{PAD}\) là góc nội tiếp chắn cung PD

=>\(\hat{PID}=2\cdot\hat{PAD}=60^0\)

Xét ΔIPD có IP=ID và \(\hat{PID}=60^0\)

nên ΔIPD đều

Bài 1:

\(M=x^3-6x^2+12x-8\)

\(=x^3-3\cdot x^2\cdot2+3\cdot x\cdot2^2-2^3\)

\(=\left(x-2\right)^3\)

Thay x=12 vào M, ta được:

\(M=\left(12-2\right)^3=10^3=1000\)

Bài 2:

a: \(P=\left(x+1\right)^3-x\left(x-2\right)\left(x+3\right)\)

\(=x^3+3x^2+3x+1-x\left(x^2+3x-2x-6\right)\)

\(=x^3+3x^2+3x+1-x\left(x^2+x-6\right)\)

\(=x^3+3x^2+3x+1-x^3-x^2+6x=2x^2+9x+1\)

b: Thay x=2 vào P, ta được:

\(P=2\cdot2^2+9\cdot2+1=8+18+1=9+18=27\)

Bài 3:

a: \(5x^2-10x=5x\cdot x-5x\cdot2=5x\left(x-2\right)\)

b: \(x^2-12xy+36y^2-49\)

\(=\left(x-6y\right)^2-7^2\)

=(x-6y-7)(x-6y+7)

c: \(3x+x^2-3y-y^2\)

\(=x^2-y^2+3\left(x-y\right)\)

=(x-y)(x+y)+3(x-y)

=(x-y)(x+y+3)

Bài 4:

a: \(x\left(2x-1\right)-3\left(1-2x\right)=0\)

=>x(2x-1)+3(2x-1)=0

=>(2x-1)(x+3)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}2x-1=0\\ x+3=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac12\\ x=-3\end{array}\right.\)

b: \(\left(3x+4\right)^2-\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)=49\)

=>\(9x^2+24x+16-9x^2+1=49\)

=>24x+17=49

=>24x=49-17=32

=>\(x=\frac{32}{24}=\frac43\)

c: \(x^2+2x=15\)

=>\(x^2+2x-15=0\)

=>(x+5)(x-3)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x+5=0\\ x-3=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-5\\ x=3\end{array}\right.\)

Bài 5:

a: C=A+B

\(=xy-3x^2y^2+x^4-5y^3+x^4-5y^3-2x^2y^2-xy=-5x^2y^2+2x^4-10y^3\)

b: Bậc của C là 4

c: Thay x=-1;y=-1 vào C, ta được:

\(C=-5\cdot\left(-1\right)^2\cdot\left(-1\right)^2+2\cdot\left(-1\right)^4-10\cdot\left(-1\right)^3\)

=-5+2+10

=-3+10

=7

Bài 6:

a: \(A=2x^2-4x+2xy+y^2+2025\)

\(=x^2-4x+4+x^2+2xy+y^2+2021=\left(x-2\right)^2+\left(x+y\right)^2+2021\ge2021\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x-2=0 và x+y=0

=>x=2 và y=-x=-2

b: (x-7)(x-5)(x-4)(x-2)-72

\(=\left(x^2-9x+14\right)\left(x^2-9x+20\right)-72\)

\(=\left(x^2-9x+14\right)^2+6\left(x^2-9x+14\right)-72\)

\(=\left(x^2-9x+14+12\right)\left(x^2-9x+14-6\right)=\left(x^2-9x+26\right)\left(x^2-9x+8\right)\)

\(=\left(x^2-9x+26\right)\left(x-1\right)\left(x-8\right)\)

trình