Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
d) Đưa 2 vế về cùng cơ số 2, ta được
\(2^{-3}.2^{4x-6}=\left(2^{\frac{-5}{2}}\right)^x\) hay \(2^{4x-9}=2^{\frac{5}{2}x}\)
Do đó :
\(4x-9=\frac{5}{2}x\Leftrightarrow\frac{3}{2}x=9\Leftrightarrow x=6\)
Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm x=6
c) Phương trình đã cho tương đương với :
\(\frac{1}{4}.4^x+16.4^x=10\Leftrightarrow\frac{33}{2}.4^x=10\Leftrightarrow4^x=\frac{20}{33}\Leftrightarrow x=\log_4\frac{20}{33}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\log_4\frac{20}{33}\)
Hệ phương trình đã cho là:
1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Để các căn thức có nghĩa, ta cần:
Vậy, ĐKXĐ là: $-1 \le x \le 1$.
2. Biến đổi phương trình (1)
Chuyển các số hạng chứa $\sqrt{1-x}$ về một vế và các số hạng còn lại về vế kia:
Nếu đặt $z = \sqrt{1-x}$, ta có $z \ge 0$ và $z^2 = 1-x$, hay $x = 1 - z^2$.
Thay $x$ vào biểu thức $1 - 2x$:
Thay lại vào phương trình (1) đã biến đổi:
Xét hàm số $f(t) = 2t^3 + t$. Ta có $f'(t) = 6t^2 + 1 > 0$ với mọi $t \in \mathbb{R}$.
$\implies f(t)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó, từ $f(y) = f(-z)$, suy ra $y = -z$.
Thay $z = \sqrt{1-x}$ trở lại, ta được mối liên hệ:
3. Thay thế vào phương trình (2)
Thay $(*)$ vào phương trình $(2)$:
Sử dụng công thức $\sqrt{1-x}\sqrt{1+x} = \sqrt{(1-x)(1+x)} = \sqrt{1-x^2}$ (do $-1 \le x \le 1$):
Lưu ý rằng $\sqrt{1-x} \ge 0$, và $y = -\sqrt{1-x} \le 0$, tức là $y$ không dương.
Xét vế trái của $(2)$: $2x^2 + 2xy\sqrt{1+x}$.
Từ $(*)$, ta có $y^2 = 1 - x$, hay $x = 1 - y^2$.
Thay $x = 1 - y^2$ vào $(2)$:
Đây là một phương trình rất phức tạp. Ta nên biến đổi phương trình $(2)$ một cách khác.
Quay lại phương trình:
Ta nhận thấy vế trái có dạng bình phương thiếu. Nhân 2 vế với 2:
Đây không phải là một hướng đi đơn giản. Ta nên thử phương pháp lượng giác do kết quả có dạng lượng giác.
4. Phương pháp lượng giác
Đặt $x = \cos t$, với $t \in [0, \pi]$ (vì $-1 \le x \le 1$).
Từ $(*)$, ta có $y = -\sqrt{1-x}$.
Vì $t \in [0, \pi] \implies \frac{t}{2} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \implies \sin \left(\frac{t}{2}\right) \ge 0$.
Nên $y = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$.
Thay $x = \cos t$ và $y = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$ vào phương trình $(2)$:
Sử dụng công thức: $\sqrt{1 + \cos t} = \sqrt{2\cos^2 \left(\frac{t}{2}\right)} = \sqrt{2}\cos \left(\frac{t}{2}\right)$ (vì $\frac{t}{2} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$).
$$\begin{aligned} 2\cos^2 t + 2\cos t \left(-\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right) \left(\sqrt{2}\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right) &= 1 - \sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right) \\ 2\cos^2 t - 4\cos t \left(\sin \left(\frac{t}{2}\right)\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right) &= 1 - \sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)\end{aligned}$$Sử dụng công thức $\sin t = 2\sin \left(\frac{t}{2}\right)\cos \left(\frac{t}{2}\right)$:
Sử dụng công thức $\cos(2t) = 2\cos^2 t - 1$, hay $2\cos^2 t = 1 + \cos(2t)$:
Sử dụng công thức $a\cos \alpha + b\sin \alpha = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\alpha - \phi)$:
Chia cả hai vế cho $\sqrt{2}$:
Sử dụng công thức $-\sin \alpha = \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$:
Phương trình có hai trường hợp:
Trường hợp 1:
Do $t \in [0, \pi]$, ta thay $k = 0$: $t = \frac{\pi}{6}$ (nhận)
Nếu $k = 1$: $t = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} > \pi$ (loại).
Với $t = \frac{\pi}{6}$:
Giá trị này không khớp với đáp án $\left(\cos \frac{3\pi}{10}; \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}\right)$. Trường hợp này bị loại.
Trường hợp 2:
Do $t \in [0, \pi]$, ta thử các giá trị $k$:
- $k = 0$: $t = -\frac{3\pi}{10}$ (loại)
- $k = 1$: $t = -\frac{3\pi}{10} + \frac{4\pi}{5} = \frac{-3\pi + 8\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ (nhận)
- $k = 2$: $t = -\frac{3\pi}{10} + \frac{8\pi}{5} = \frac{-3\pi + 16\pi}{10} = \frac{13\pi}{10} > \pi$ (loại)
Với $t = \frac{\pi}{2}$:
Kiểm tra nghiệm $(x; y) = (0; -1)$ vào hệ ban đầu:
Trường hợp này cũng bị loại.
5. Xem xét lại đáp án gợi ý
Đáp án gợi ý là: $(x; y) = \left(\cos \frac{3\pi}{10}; \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}\right)$.
Nếu đây là nghiệm, ta phải có $y = -\sqrt{1-x}$.
$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{1 - \cos \frac{3\pi}{10}}$
$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{2\sin^2 \frac{3\pi}{20}}$
$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}$ (vì $\frac{3\pi}{20} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \implies \sin \frac{3\pi}{20} > 0$)
$\iff 2\sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = 0 \quad \text{(Vô lí vì } \sin...
Điều kiện :
\(\begin{cases}x^2-4x+5>0\\3+\log_2\left(x^2-4x+5\right)\ge0\\5-\log_2\left(x^2-4x+5\right)\ge0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+5\le2^5\)
\(\Leftrightarrow2-\sqrt{29}\le x\)\(\le2+\sqrt{29}\)
Đặt \(\begin{cases}u=\sqrt{3+\log_2\left(x^2-4x+5\right)}\\v=\sqrt{5-\log_2\left(x^2-4x+5\right)}\end{cases}\) \(\left(v,u\ge0\right)\)
Khi đó ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}u^2+v^2=8\\u+2v=6\end{cases}\)
Giải ra ta được :
\(\begin{cases}u=2\\v=2\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}u=\frac{2}{5}\\v=\frac{14}{5}\end{cases}\)
Từ đó suy ra \(\log_2\left(x^2-4x+5\right)=1\) hoặc \(\log_2\left(x^2-4x+5\right)=\frac{-71}{25}\) và tìm được 4 nghiệm của phương trình
1) Đặt \(2+lnx=t\Leftrightarrow x=e^{t-2}\Rightarrow dx=e^{t-2}dt\)
\(I_1=\int\left(\frac{t-2}{t}\right)^2\cdot e^{t-2}\cdot dt=\int\left(1-\frac{4}{t}+\frac{4}{t^2}\right)e^{t-2}dt\\ =\int e^{t-2}dt-4\int\frac{e^{t-2}}{t}dt+4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt\)
Có:
\(4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt=-4\int e^{t-2}\cdot d\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}+4\int\frac{e^{t-2}}{t}dt\\ \Leftrightarrow4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt-4\int\frac{e^{t-2}}{t^{ }}dt=-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}\)
Vậy \(I_1=\int e^{t-2}dt-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}=e^{t-2}-\frac{4e^{t-2}}{t}+C\)
3) Đặt \(t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}\Rightarrow t^2-1=\sqrt[3]{x^2}\Leftrightarrow x^2=\left(t^2-1\right)^3\)
\(d\left(x^2\right)=d\left[\left(t^2-1\right)^3\right]\Leftrightarrow2x\cdot dx=6t\left(t^2-1\right)^2\cdot dt\)
\(I_3=\int\frac{3t\left(t^2-1\right)^2}{t}dt=3\int\left(t^4-2t^2+1\right)dt=...\)
trong cac phan so sau :2/3 ;2/8 ;17/300 ;1/30.phan so thap phan la phan so
d) Điều kiện \(\begin{cases}x\ne0\\\log_2\left|x\right|\ge0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\left|x\right|\ge\)1
Phương trình đã cho tương đương với :
\(\log_2\left|x\right|^{\frac{1}{2}}-4\sqrt{\log_{2^2}\left|x\right|}-5=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\log_2\left|x\right|-4\sqrt{\frac{1}{4}\log_2\left|x\right|}-5=0\)
Đặt \(t=\sqrt{\frac{1}{2}\log_2\left|x\right|}\) \(\left(t\ge0\right)\) thì phương trình trở thành :
\(t^2-4t-5=0\) hay t=-1 V t=5
Do \(t\ge0\) nên t=5
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\log_2\left|x\right|=25\Leftrightarrow\log_2\left|x\right|=50\Leftrightarrow\left|x\right|=2^{50}\) Thỏa mãn
Vậy \(x=\pm2^{50}\) là nghiệm của phương trình
c) Điều kiện x>0. Phương trình đã cho tương đương với :
\(x^{lg^2x^2-3lgx-\frac{9}{2}}=\left(10^{lgx}\right)^{-2}\)
\(\Leftrightarrow lg^2x^2-3lgx-\frac{9}{2}=-2\)
\(\Leftrightarrow8lg^2x-6lgx-5=0\)
Đặt \(t=lgx\left(t\in R\right)\) thì phương trình trở thành
\(8t^2-6t-5=0\) hay\(t=-\frac{1}{2}\) V \(t=\frac{5}{4}\)
Với \(t=-\frac{1}{2}\) thì \(lgx=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
Với \(t=\frac{5}{4}\) thì \(lgx=\frac{5}{4}\Leftrightarrow x=\sqrt[4]{10^5}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\sqrt[4]{10^5}\) và \(x=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
ko biết