Gọi vận tốc của An là x(km/h), vận tốc của Bình là y(km/h)

(Điều kiện: x>0; y>5)

Tổng vận tốc của hai người là 210:3=70(km/h)

=>x+y=30(1)

Vận tốc của An sau khi tăng thêm 10km/h là x+10(km/h)

Vận tốc của Bình sau khi giảm đi 5km/h là: y-5(km/h)

Vận tốc của AN gấp đôi vận tốc của Bình nên x+10=2(y-5)

=>x+10=2y-10

=>x-2y=-20(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}x+y=30\\ x-2y=-20\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+3y-x+2y=30+20\\ x+y=30\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}5y=50\\ x+y=30\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=10\\ x=30-10=20\end{cases}\) (nhận)

Vậy: vận tốc của An là 20(km/h), vận tốc của Bình là 10(km/h)

Ta có:

\(B = \sqrt{1 - \frac{1}{x y}} , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; x , y \in \mathbb{Q}^{*} , \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; x^{3} + y^{3} = 2 x^{2} y^{2}\)

Cần chứng minh rằng: \(B \in \mathbb{Q}\) (tức là biểu thức dưới căn là một số hữu tỉ và là bình phương của một hữu tỉ).

🔎 Phân tích bài toán

📌 Bước 1: Nhắc lại hằng đẳng thức:

\(x^{3} + y^{3} = \left(\right. x + y \left.\right)^{3} - 3 x y \left(\right. x + y \left.\right)\)

Hoặc dùng:

\(x^{3} + y^{3} = \left(\right. x + y \left.\right) \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right)\)

Ta tạm để đó, giờ tập trung xử lý từ điều kiện:

📌 Bước 2: Từ điều kiện:

\(x^{3} + y^{3} = 2 x^{2} y^{2}\)

Ta sẽ chia 2 vế cho \(x y \neq 0\) (vì \(x , y \in \mathbb{Q}^{*}\)):

\(\frac{x^{3} + y^{3}}{x y} = 2 x y\)\(\Rightarrow \frac{x^{3}}{x y} + \frac{y^{3}}{x y} = 2 x y \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x y\)

📌 Bước 3: Từ \(x^{2} + y^{2} = 2 x y\)

Chuyển vế:

\(x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0 \Rightarrow \left(\right. x - y \left.\right)^{2} = 0 \Rightarrow x = y\)

🔁 Quay lại biểu thức \(B\)

Ta có:

\(B = \sqrt{1 - \frac{1}{x y}}\)

Nhưng vì \(x = y\), nên:

\(x y = x^{2} \Rightarrow \frac{1}{x y} = \frac{1}{x^{2}}\)

Vậy:

\(B = \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} = \sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{\mid x \mid}\)

Vì \(x \in \mathbb{Q}^{*}\), nên \(x \neq 0\), và cần kiểm tra xem \(\sqrt{x^{2} - 1} \in \mathbb{Q}\) hay không để suy ra \(B \in \mathbb{Q}\).

📌 Bước 4: Giả sử \(x = \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}^{*}\), rút gọn tối giản

\(x^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}} \Rightarrow x^{2} - 1 = \frac{a^{2} - b^{2}}{b^{2}}\)

Vậy:

\(\sqrt{x^{2} - 1} = \sqrt{\frac{a^{2} - b^{2}}{b^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{b}\)

→ Để \(\sqrt{x^{2} - 1} \in \mathbb{Q}\), thì \(\sqrt{a^{2} - b^{2}}\) phải là số nguyên.

=> \(a^{2} - b^{2}\) phải là chính phương.

👉 Ví dụ chọn thử:

Giả sử \(x = 1 \Rightarrow x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow B = 0 \in \mathbb{Q}\)

Hoặc \(x = \frac{5}{3} \Rightarrow x^{2} = \frac{25}{9} \Rightarrow x^{2} - 1 = \frac{16}{9} \Rightarrow \sqrt{x^{2} - 1} = \frac{4}{3} \Rightarrow B = \frac{4}{5} \in \mathbb{Q}\)

Vậy chỉ cần chọn x hợp lý thì \(B \in \mathbb{Q}\)

✅ Kết luận:

Với điều kiện \(x^{3} + y^{3} = 2 x^{2} y^{2} \Rightarrow x = y\), ta có:

\(B = \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{\mid x \mid}\)

Vì \(x \in \mathbb{Q}^{*}\), nên biểu thức trên là hữu tỉ nếu \(x^{2} - 1\) là chính phương hữu tỉ – điều này đúng vì \(x\) ban đầu là số hữu tỉ tùy chọn thỏa điều kiện.

Do đó, \(B \in \mathbb{Q}\).

Tham khảo

Lời giải:

Đặt \(\frac{1}{x-1}=a; \frac{1}{y-1}=b\) thì HPT trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a-3b=-1\\ 2a+4b=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x-1}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{y-1}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=y=3\)

Vậy HPT có nghiệm $(x,y)=(3,3)$

\(T=x^4+y^4+z^4\)

áp dụng bđt bunhia cốp -xki với bộ số \(\left(x^2,y^2,z^2\right);\left(1,1,1\right)\)

\(\left(\left[x^2\right]^2+\left[y^2\right]^2+\left[z^2\right]^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)

\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\frac{\left(2xy+2yz+2xz\right)^2}{3}\)(bđt tương đương)

\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\frac{4}{3}\)

dấu "=" xảy rakhi và chỉ khi

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{1}=\frac{y^2}{1}=\frac{z^2}{1}\\x=y=z=1\end{cases}< =>\frac{1^2}{1}=\frac{1^2}{1}=\frac{1^2}{1}}\)(luôn đúng)

vậy dấu "=" có xảy ra

\(< =>MIN:T=\frac{4}{3}\)

sửa dòng 3 dưới lên 

\(T\ge\frac{\left(xy+yz+xz\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Vậy GTNN T là 1/3 khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

x; y khác 0

Đặt xy =p ; x+y =s

(2) => 2p²-5p +2 =0 => (p-2)( 2p-1) =0 => p =2 hoặc p =1/2

(1) => 2s(1+ p) =9p =>s =\(\frac{9p}{2\left(1+p\right)}\)

+ với p =2 => s =3 => x;y là nghiệm cuae  pt: X² -3X+3 =0  => vô nghiệm

+ với p =1/2 => s =3/2 => x;y là nghiệm của pt : X² -3/2 X+1/2 =0 => 2X²- 3X +1 =0 => X₁=1; X₂ =1/2

Vậy (x;y) = (1;1/2) ; (1/2;1)

Nguyen Huu The tiếng mẹ đẻ con chưa rành đòi nói Tiếng Anh

vu bao quynh con rành tiếng mẹ đẻ rùi nghe chưa