Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}\Rightarrow xyz=1\) và \(x;y;z>0\)

Gọi biểu thức cần tìm GTNN là P, ta có:

\(P=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x^3}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{y^3}\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{z^3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)}\)

\(=\dfrac{x^3yz}{y+z}+\dfrac{y^3zx}{z+x}+\dfrac{z^3xy}{x+y}=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

\(P\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(P_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

Đặt \(a = \frac{1}{x} ; b = \frac{1}{y} ; c = \frac{1}{z} \Rightarrow x y z = 1\) và \(x ; y ; z > 0\)

Gọi biểu thức cần tìm GTNN là P, ta có:

\(P = \frac{1}{\frac{1}{x^{3}} \left(\right. \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \left.\right)} + \frac{1}{\frac{1}{y^{3}} \left(\right. \frac{1}{z} + \frac{1}{x} \left.\right)} + \frac{1}{\frac{1}{z^{3}} \left(\right. \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \left.\right)}\)

\(= \frac{x^{3} y z}{y + z} + \frac{y^{3} z x}{z + x} + \frac{z^{3} x y}{x + y} = \frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y}\)

\(P \geq \frac{\left(\left(\right. x + y + z \left.\right)\right)^{2}}{y + z + z + x + x + y} = \frac{x + y + z}{2} \geq \frac{3 \sqrt[3]{x y z}}{2} = \frac{3}{2}\)

\(P_{m i n} = \frac{3}{2}\) khi \(x = y = z = 1\) hay \(a = b = c = 1\)

a: Xét ΔKAD và ΔBDA có

\(\hat{KAD}=\hat{BDA}\) (hai góc so le trong, AK//BD)

AD chung

\(\hat{KDA}=\hat{BAD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó: ΔKAD=ΔBDA

=>KA=BD

mà BD=AC

nên AK=AC

=>ΔAKC cân tại A

b: ΔAKC cân tại A

=>\(\hat{AKC}=\hat{ACK}\)

mà \(\hat{AKC}=\hat{BDC}\) (hai góc đồng vị, BD//AK)

nên \(\hat{BDC}=\hat{ACD}\)

Xét ΔBDC va ΔACD có

BD=AC

\(\hat{BDC}=\hat{ACD}\)

CD chung

Do đó: ΔBDC=ΔACD

=>\(\hat{BCD}=\hat{ADC}\)

=>ABCD là hình thang cân

a: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>\(HB=HC=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HA^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>HA=8(cm)

b: Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot12\cdot8=4\cdot12=48\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

chữ xấu quá mình không đọc được

sao chữ nó như con zun nó đag bò ấy nhỉ

a. áp dụnng định lý pythagore vào △ ABC vuông tại A ta có:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(\operatorname{cm}\right)\)

b. diện tích △ ABC là:

\(\frac{6\cdot8}{2}=24\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

c. ta có: \(BC\cdot AH=AB\cdot AC\)

\(\Rightarrow AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot8}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

áp dụng định lý pythagore vào △ ABH vuông tại H ta được:

\(HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{6^2-4,8^2}=3,6\left(\operatorname{cm}\right)\)

áp dụng định lý pythagore vào △ AHC vuông tại H ta được:

\(HC=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{8^2-4,8^2}=6,4\left(\operatorname{cm}\right)\)

d. vì M là trung điểm của cạnh BC

⇒ MB = MC = BC : 2 = 10 : 2 = 5 (cm)

ta có: BH + HM = BM

⇒ HM = BM - BH = 5 - 3,6 = 1,4 (cm)

áp dụng định lý pythagore vào △ AHM vuông tại H ta có:

\(AM=\sqrt{AH^2+HM^2}=\sqrt{4,8^2+1,4^2}=5\left(\operatorname{cm}\right)\)

Câu 1:

a: \(-2x^2y^2\cdot5xy^3\)

\(=\left(-2\cdot5\right)\cdot x^2\cdot x\cdot y^2\cdot y^3=-10x^3y^5\)

b: \(3xy^2\cdot\left(-4xy\right)^2=3xy^2\cdot16x^2y^2\)

\(=\left(3\cdot16\right)\cdot x\cdot x^2\cdot y^2\cdot y^2=48x^3y^4\)

c: \(xy^2\left(2x^2y^3-3\right)-\left(xy+1\right)\left(2x^2y^4-3y\right)\)

\(=2x^3y^5-3xy^2-2x^3y^5+3xy^2-2x^2y^4+3y\)

\(=-2x^2y^4+3y\)

Câu 2:

a: \(3\left(5x-1\right)-x\left(x-5\right)+x^2-3x=5\)

=>\(15x-3-x^2+5x+x^2-3x=5\)

=>17x=8

=>\(x=\frac{8}{17}\)

b: \(\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)-\left(x+1\right)\left(x-4\right)=0\)

=>\(6x^2+21x-2x-7-\left(x^2-3x-4\right)=0\)

=>\(6x^2+19x-7-x^2+3x+4=0\)

=>\(5x^2+22x-3=0\)

=>\(x^2+\frac{22}{5}x-\frac35=0\)

=>\(x^2+2\cdot x\cdot\frac{11}{5}+\frac{121}{25}=\frac{136}{25}\)

=>\(\left(x+\frac{11}{5}\right)^2=\frac{136}{25}\)

=>\(x+\frac{11}{5}=\pm\frac{2\sqrt{34}}{5}\)

=>\(x=-\frac{11}{5}\pm\frac{2\sqrt{34}}{5}\)
Câu 3:

a: A+B

\(=x^2-3xy-y^2-2+2x^2+y^2+xy-3\)

\(=3x^2-2xy-5\)

b: C+A-B=0

=>C=-A+B

=>\(C=-x^2+3xy+y^2+2+2x^2+y^2+xy-3\)

=>\(C=x^2+4xy+2y^2-1\)

Bài 4:

a: Ta có: \(AD=DC=\frac{AC}{2}\)

\(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

mà AC=AB

nên AD=DC=AE=EB

Xét ΔABC có \(\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\left(=\frac12\right)\)

nên ED//BC

=>BEDC là hình thang

Hình thang BEDC có \(\hat{EBC}=\hat{DCB}\)

nên BEDC là hình thang cân

b: ΔABC cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}=\frac{180^0-40^0}{2}=70^0\)

DE//BC

=>\(\hat{DEB}+\hat{EBC}=180^0\)

=>\(\hat{DEB}=180^0-70^0=110^0\)

BEDC là hình thang cân

=>\(\hat{BED}=\hat{EDC}\)

=>\(\hat{EDC}=110^0\)

Ta có: \(5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2=0\)

=>\(4x^2+8xy+4y^2+x^2-2x+1+y^2+2y+1=0\)

=>\(4\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=0\)

=>\(4\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=0\)

=>\(\begin{cases}x+y=0\\ x-1=0\\ y+1=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\ y=-1\end{cases}\)

Khi x=1;y=-1 thì ta có:

\(M=\left(1-1\right)^{2023}+\left(1-2\right)^{2024}+\left(-1+1\right)^{2025}\)

=1