Với \(k\in R\)ta có:

\(P+k=\frac{\left(kx^2-8x+k+6\right)}{\left(x^2+1\right)}\)

Với k = -8 thì:

\(P-8=\frac{\left[-2.\left(2x+1\right)^2\right]}{\left(x^2+1\right)}\le0\)

\(\Rightarrow P\le8\)

\(\Rightarrow Max_P=8\)khi \(x=-\frac{1}{2}\)

\(P+2=\frac{\left[2.\left(x-2\right)^2\right]}{x^2+1}\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge2\)

\(\Rightarrow Min_A=-2\)khi \(x=2\)

\(P=\frac{6x-8}{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow Px^2+P=6x-8\)

\(\Leftrightarrow Px^2+P-6x+8=0\)

\(\Leftrightarrow Px^2-6x+\left(P+8\right)=0\)(1)

Để PT (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\left(-6\right)^2-4P\left(P+8\right)\ge0\Leftrightarrow36-4P^2-32P\ge0\)

\(\Leftrightarrow9-P^2-8P\ge0\Leftrightarrow\left(-P-9\right)\left(P-1\right)\ge0\Leftrightarrow-9\le P\le1\)

Vậy P có giá trị nhỏ nhất là - 9 \(\Leftrightarrow-9x^2-6x-1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{3}\)\

Vậy P có giá trị lớn nhất là 1 \(x^2-6x+9=0\Rightarrow x=3\)

\(P_1=\frac{3x^2+6x+10}{x^2+2x+3}\)

      \(=3+\frac{1}{x^2+2x+3}\)

Lại có: \(x^2+2x+3\)

          \(=\left(x+1\right)^2+2\ge2\)

\(\Rightarrow P_1\le3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\)

Dấu = xảy ra khi x=-1

P₂ tương tự

\(A=\frac{99}{x^2-3x+13}=\frac{99}{\left(x^2-2.\frac{3}{2}.x+\frac{9}{4}\right)+\frac{43}{4}}=\frac{99}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{43}{4}}\)

Vì \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{43}{4}\ge\frac{43}{4}\Rightarrow A=\frac{99}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{43}{4}}\le\frac{396}{43}\)

=>\(A_{min}=\frac{396}{43}\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

Để A lớn nhất => B bé nhất. Ta có:

B= x² - 3x +13 = x^2 - 2x1,5x + 9/4 -9/4 +13 = (x-1,5)² + 43/4 

Vì (x-1,5)² >= 0 với mọi x

(x-1,5)² + 43/4 >43/4 với mọi x.

=> Min B = 43/4 tại x=1,5

=> Max A = 99/(43/4) = 396/43 tại x = 1,5

\(Q=\frac{1}{x^2-2x+3}=\frac{1}{\left(x^2-2x+1\right)+2}=\frac{1}{\left(x-1\right)^2+2}\)

Để \(\frac{1}{\left(x-1\right)^2+2}\) max <=> \(\left(x-1\right)^2+2\) min

Mà \(\left(x-1\right)^2+2\ge2\) \(\forall x\)

\(\Rightarrow Q=\frac{1}{\left(x-1\right)^2+2}\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(x-1\right)^2=0\Rightarrow x=1\)

Vậy \(Q_{MAX}=\frac{1}{2}\) tại \(x=1\)

Ta có: \(A=\frac{3x^2+6x+11}{x^2+2x+3}=3+\frac{2}{x^2+2x+3}=3+\frac{2}{\left(x+1\right)^2+2}\)

Đặt \(B=\frac{2}{\left(x+1\right)^2+2}\),để A đạt giá trị lớn nhất thì B lớn nhất.

Mà B lớn nhất khi \(\left(x+1\right)^2+2\) bé nhất. 

Lại có: \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+1\right)^2+2\ge2\) (1)

Từ (1) suy ra: \(B\le\frac{2}{2}=1\Rightarrow A=3+B\le3+1=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy \(A_{max}=4\Leftrightarrow x=-1\)

2014/(2x^2-4x+2+2012)

=2014/2(x-1)^2+2012 bé hơn hoặc bằng 2014/2012

suy ra GTLN của biểu thức là 2014/2012 tại x=1

\(x=\frac{1007}{1006}\)

Câu: 1.    Ta gọi GTNN của biểu thức là A

         ta có A=x²+11x+9
                    = \(x^2+2.\frac{11}{2}.x+\frac{121}{4}-\frac{85}{4}\)
                    = \(\left(x+\frac{11}{2}\right)^2-\frac{85}{4}\)

    Vậy \(A_{min}=\frac{-85}{4}\) khi \(x=\frac{-11}{2}\)​
 

x-3x²+12= -3(x²-1/3x-4)= -3(x²-2*1/6x+1/36-1/36-4)= -3((x-1/3)²-145/36)= 145/12-3(x-1/3)²

vậy GTLN của bt trên là 145/12

Ta có :

\(2B=\frac{6x^2+12x+20}{x^2+2x+3}=\frac{7x^2+14x+21-x^2-2x-1}{x^2+2x+3}=\frac{7\left(x^2+2x+3\right)-\left(x+1\right)^2}{x^2+2x+3}\)

\(=7-\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+2x+3}\le7\) (Vì \(\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+2x+3}\ge0\))

Do \(2B\le7\Rightarrow B\le\frac{7}{2}\)đạt GTLN là \(\frac{7}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+2x+3}=0\Rightarrow x=-1\)

Vậy GTLN của \(B\) là \(\frac{7}{2}\) tại \(x=-1\)