Về lý thuyết thì có thể tính toán chính xác được điểm rơi mà ko cần đoán, nhưng thực tế thì dạng này thường tách A để xuất hiện \(a+2b+3c\) và phần còn lại sẽ tự ghép:

\(4A=4a+4b+4c+\dfrac{12}{a}+\dfrac{18}{b}+\dfrac{16}{c}\)

\(\Rightarrow4A=a+2b+3c+\left(3a+\dfrac{12}{a}\right)+\left(2b+\dfrac{18}{b}\right)+\left(c+\dfrac{16}{c}\right)\)

\(\Rightarrow4A\ge20+2\sqrt{\dfrac{36a}{a}}+2\sqrt{\dfrac{36b}{b}}+2\sqrt{\dfrac{16c}{c}}=...\)

Con cảm ơn. Nhưng làm thế nào để có thể tính toán chính xác được điểm rơi vậy ạ?

Việc tính toán chính xác đòi hỏi phải giải phương trình vô tí khá phức tạp (gần như chỉ thực hiện được bằng chức năng SOLVE của máy tính chứ ko giải tay được):

Giả sử điểm rơi tại \(a;b;c\), từ giả thiết ta dự đoán \(a+2b+3c=20\) (1)

Khi đó ta tách A như sau (ghép cặp cho hết phần biến chứa mẫu):

\(A=\left(ax+\dfrac{3}{a}\right)+\left(by+\dfrac{9}{2b}\right)+\left(cz+\dfrac{4}{c}\right)+\left(1-x\right)a+\left(1-y\right)b+\left(1-z\right)c\) (*)

Trong đó x;y;z là các số thực dương thuộc \(\left(0;1\right)\) sao cho các cặp trong mỗi ngoặc áp dụng được AM-GM

Khi đó, theo điều kiện đẳng thức của AM-GM thì ta có:

\(a=\sqrt{\dfrac{3}{x}}\) ; \(b=\sqrt{\dfrac{9}{2y}}\) ; \(c=\sqrt{\dfrac{4}{z}}\) (2)

Đồng thời kết hợp phần còn dư \(\left(1-x\right)a+\left(1-y\right)b+\left(1-z\right)c\) và điều kiện đề bài dạng \(a+2b+3c\) ta sẽ có:

\(\dfrac{1-x}{1}=\dfrac{1-y}{2}=\dfrac{1-z}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-1\\z=3x-2\end{matrix}\right.\) (3)

Thế (2); (3) vào (1):

\(\sqrt{\dfrac{3}{x}}+2\sqrt{\dfrac{9}{2\left(2x-1\right)}}+3\sqrt{\dfrac{4}{3x-2}}=20\)

SOLVE phương trình trên, ta được \(x=\dfrac{3}{4}\), thay vào (3) được \(y=\dfrac{1}{2};z=\dfrac{1}{4}\)

Sau đó thế vào (*) là được

Dạ ở phần (*) và (2) con k hiểu lắm Thầy có thể giải thích chi tiết xíu được k ạ?

Thế này nhé, bây giờ ta cần tách \(a+\dfrac{3}{a}\) ra sao cho có thể AM-GM được

Nhưng ta chưa biết điểm rơi xảy ra tại đâu, nên ta giả sử có 1 hằng số x nào đó sao cho \(a.x=\dfrac{3}{a}\) 

Khi đó thì ta có thể AM-GM được cặp \(ax\) và \(\dfrac{3}{a}\) (vì theo quy tắc là \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) dấu = xảy ra khi \(a=b\))

Do đó ta tách a thành \(a=ax-ax+a=ax+\left(1-x\right)a\)

Khi áp dụng AM-GM với cặp \(ax+\dfrac{3}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{3ax}{a}}\) dấu = xảy ra tại \(ax=\dfrac{3}{a}\Rightarrow a^2=\dfrac{3}{x}\Rightarrow a=\sqrt{\dfrac{3}{x}}\)

Tương tự với b;c ta có y và z