Bài 3 , câu 2 .

Chuyển vế phải qua vế trái , đổi dấu , chứng minh hằng đẳng thức mở rộng :

(x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

Xong chỉ cần ghép vào bài , ta sẽ có điều chứng minh .

Tôi không thể vào đ.c link An ơi :((

Giải : 

x³ + y³ + z³ \(\ge\) 3xyz

x³ + y³ + z³ - 3xyz \(\ge\)0

Ta sẽ chứng minh hằng đẳng thức này đúng : x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

Cái này cậu tự chứng minh được :)

Có : (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) \(\ge\) 0

Giả sử bất đẳng thức trên đúng , thì ta xét được 2 trường hợp ở 2 thừa số 

1. Cùng âm 

2. Cùng dương 

Có : x,y,z không âm 

=> x + y + z không âm      (1)

Vậy trường hợp 1 không thể xảy ra 

+ Bây giờ cần chứng minh thừa số 2 không âm 

Có : x² + y² + z² - xy - yz - zx \(\ge\)0

 2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx \(\ge\)0

(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²  \(\ge\)0 (đúng)           (2)

Từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh 

2.1

\(-x^4+3x^3-5x^2+5x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-x^4+x^3\right)+\left(2x^3-2x^2\right)-\left(3x^2-3x\right)+\left(2x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-x^3\left(x-1\right)+2x^2\left(x-1\right)-3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(-x^3+2x^2-3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(-x^3+x^2\right)+\left(x^2-x\right)-\left(2x-2\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[-x^2\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(-x^2+x-2\right)=0\)

Ta có  \(-x^2+x-2=-\left(x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}\right)=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{7}{4}< 0\)

Vậy x = 1

5.  Vì x, y dương ta có  \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{16^2}{2}=128\)

Áp dụng BĐT Bunhiakovsky dạng phân thức  \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)

\(M=\frac{18}{2xy}+\frac{18}{x^2+y^2}-\frac{1}{x^2+y^2}=18\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)

\(\ge18.\frac{\left(1+1\right)^2}{2xy+x^2+y^2}-\frac{1}{128}=\frac{18.4}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{128}=\frac{72}{16^2}-\frac{1}{128}=\frac{35}{128}\)

Vậy \(M\ge\frac{35}{128}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow x=y=8\)

3.1

Ta có  \(A=x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

Dễ thấy A chia hết cho 3 vì x, x-1, x+1 là 3 số nguyên liên tiếp

Do đó  \(x^5-x+2\)  chia 3 dư 2 nên ko thể là 1 số chính phương

Còn 1 bài số nữa thôi cj giải luôn :)

2.2: ĐK:  \(x\ne-\frac{1}{2}\)

\(2x+\frac{49}{2x+1}-13\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x\left(2x+1\right)+49-13\left(2x+1\right)}{2x+1}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{4x^2-24x+36}{2x+1}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{4\left(x-3\right)^2}{2x+1}\le0\) (*)

\(\forall x\ne-\frac{1}{2}\)  ta luôn có  \(4\left(x-3\right)^2\ge0\)  nên (*) xảy ra

\(\Leftrightarrow2x+1< 0\)

\(\Leftrightarrow x< \frac{-1}{2}\)