a) Gọi d là ƯCLN(21n+4;14n+3)

Ta có: 21n+4 chia hết cho d

14n+3 chia hết cho d 

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(21n+4\right).2=42n+8\\\left(14n+3\right).3=42n+9\end{cases}}\) chia hết cho d

=>  (42n+9)-(42n+8)=1 chia hết cho d

=> d thuộc  Ư(1)={1}  => d=1       ĐPCM

b) Gọi d là  ƯCLN(8n+3;18n+7)

Ta có:  8n+3 chia hết cho d  => (8n+3).9=72n+27 chia hết cho d

            18n+7 chia hết cho d => (18n+7).4=72n+28 chia hết cho d

=> (72n+28)-(72n+27) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho  => d thuộc Ư(1)

=> d=1                    ĐPCM

a) Đặt A vào ta có:

 ƯCLN A = (21n + 4; 14n + 3)

=> 21n + 4 chia hết cho A và 14n + 3 chia hết cho A

=> 2. (21n + 4) chia hết cho A và 3. (14n + 3) chia hết cho A

=> 42n + 8 và 42n + 9 chia hết cho A

=> (42n + 9) - (42n + 8) = 1 chia hết cho A => A = 1

=> 21n + 4 và 14n + 3 nguyên tố cùng nhau => PS đã cho tối giản

1a) Đặt D là UCLN(21n+4;14n+3)

=> 21n+4 chia hết cho D => 2(21n+4) chia hết cho D => 42n+8 chia hết cho D

=> 14n+3 chia hết cho D => 3(14n+3) chia hết cho D => 42n+9 chia hết cho D

Ta có : (42n+9)-(42n+8) chia hết cho D =>1 chia hết cho D => D=1 =>  21n+4/14n+3 là phân số tối giản 

1b) Đặt D là UCLN ( 8n+3;18n+7) 

=>8n+3 chia hết cho D => 9(8n+3) chia hết cho D => 72n+27 chia hết cho D

=> 18n+7 chia hết cho D => 4(18n+7) chia hết cho D => 72n+28 chia hết cho D

Ta có : (72n+28)-(72n+27) chia hết cho D => 1 chia hết cho D => D=1 => 8n+3/18n+7 là phân số tối giản 

gọi d là ƯC(3n - 2; 4n - 3)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n-2⋮d\\4n-3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4\left(3n-2\right)⋮d\\3\left(4n-3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}12n-8⋮d\\12n-9⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow12n-8-12n+9⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=\pm1\)

=> ...

b) Gọi d = ƯCLN (21n +4;14n+3)

=> 21n+4 chia hết cho d và 14n+3 chia hết cho d.

=> 2.(21n+4) chia hết cho d và 3.(14n+3) chia hết cho d

=> 42n+8 và 42n+9 chai hết cho d

=> (42n+9) - (42n+8) = 1 chia hết cho d => d = 1

=> 21n+4 và 14n+3 nguyên tố cùng nhau => PS đã cho tối giản

Câu a:

A = \(\frac{n+13}{n-2}\) (n ≠ 2)

Gọi ƯCLN(n + 13; n -2) = d khi đó:

\(\begin{cases}\left(n+13\right)\vdots d\\ \left(n-2\right)\vdots d\end{cases}\)

[(n + 13) -(n -2)] ⋮ d

[n + 13 - n + 2] ⋮ d

[(n -n) + (13 + 2)] ⋮ d

[0 + 15] ⋮ d

15 ⋮ d

d ∈ {1; 3; 5; 15}

Nếu d = 3 thì [n - 2] ⋮ 3 suy ra n = 3k + 2

Nếu d = 5 thì [n - 2] ⋮ 5 suy ra n = 5k + 2

Nếu d = 15 thì [n - 2] ⋮ 15 suy ra n = 15k + 2

khi đó A là phân số chưa tối giản, vậy để A là phân số tối giản thì:

n ≠ 3k + 2; n ≠ 5k + 2; n ≠ 15k + 2

Câu a:

\(\frac{18n+3}{21n+7}\)

Gọi ƯCLN(18n + 3; 21n + 7] = d khi đó:

(18n + 3) ⋮ d và (21n + 7) ⋮ d

(126n + 21) ⋮ d và (126n + 42) ⋮ d

[126n + 21 - 126n - 42] ⋮ d

[(126n - 126n) - (42 - 21)] ⋮ d

[0 - 21] ⋮ d

21 ⋮ d

d ∈ Ư(21) = {1; 3; 7; 21}

Nếu d = 21 thì [21n + 7] ⋮ 21 ⇒ 7 ⋮ 21(vô lí)

d = 3 thì [21n + 7] ⋮ 3 ⇒ 7 ⋮ 3 (vô lí)

Vậy d = 7

Với d = 7 ta có: [18n + 3] ⋮ 7

[14n + 4n + 3] ⋮ 7

[4n + 3] ⋮ 7

[20n + 15] ⋮ 7

mà [21n + 7] ⋮ 7

⇒ [21n + 7 - 20n - 15] ⋮ 7

[(21n - 20n) - (15 - 7)] ⋮ 7

[n - 22] ⋮ 7

n = 7k + 22

Khi đó B chưa tối giản vậy để B tối giản thì n ≠ 7k + 22(k ∈ Z)

Ta có:

\(\frac{18n+3}{21n+7}=\frac{3\left(6n+1\right)}{7\left(3n+1\right)}\)

Nhận thấy 3 và 7 ; 3 và 3n+1 ; 6n+1 và 3n+1 đều là nguyên tố cùng nhau

Để A tối giản 

=>6n+1 không chia hết cho 7

=>\(n\ne1\)

Vậy để A tối gainr thì n khác 0 và n thuộc Z