\(sigma\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)^3}\ge sigma\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{\left(a+b\right)^2\left(a^3+b^3\right)}=sigma\frac{1}{2\left(a^3+b^3\right)}\ge\frac{9}{4\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)

lol

không hiểu kiểu gì

Bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực a, b, c. Ai có thể chứng minh?

Hello

1)Áp dụng Bđt Am-Gm \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)

2)Áp dụng Am-Gm \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

=>ĐPcm

3)(a+b+c)²\(\ge\)3(ab+bc+ca)

=>a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca\(\ge\)3ab+3bc+3ca

=>a²+b²+c²-ab-bc-ca\(\ge\)0

=>2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0

=>(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)\(\ge\)0

=>(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²\(\ge\)0

4)đề đúng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Câu hỏi của Lê Minh Đức - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Đây nha! Vô tcn xem ảnh!

a) Xét hiệu ta có:

\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

\(=\frac{1}{2}.\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}.\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\)

Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\); \(\left(b-c\right)^2\ge0\forall b,c\); \(\left(a-c\right)^2\ge0\forall a,c\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}.\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\ge0\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

a,Ta có:\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(a^2+c^2\ge2ca\)

Cộng theo từng vế ba bđt trên,ta được:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

Dấu "="xảy ra khi a=b=c

b,\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)(chia cả 2 vế cho a+b)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)đúng với mọi a,b

Dấu"=" xảy ra khi a=b

c,\(a^2+b^2+c^2\ge a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+b^2+c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+b^2+c^2\ge0\)đúng với mọi a,b,c

Dấu"=" xảy ra khi a=b=c=0

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\)  (1) 

áp dụng (x² +y² +z²)(m²+n²+p²) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a²bc +b²c² + 2b²ac+a²c² + 2c²ab+a²b²). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\)   <=> (ab+bc+ca)². VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\)  ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

Chứng minh BĐT Phụ: \(a^5+b^5\ge a^4b+ab^4\)với \(a;b>0\)

\(\Rightarrow\frac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{a^4b+ab^4}{ab\left(a+b\right)}=\frac{ab\left(a^3+b^3\right)}{ab\left(a+b\right)}=\frac{ab\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{ab\left(a+b\right)}=a^2-ab+b^2\)

Áp dụng ta có: \(VT\)(VẾ TRÁI)\(\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)                       \(\left(1\right)\)

Xét: \(\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\right]-\left[3\left(ab+bc+ca\right)-2\right]\)

\(=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)+2\)

\(=4\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)\)              (Do a²+b²+c²=1)                           \(\left(2\right)\)

Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)   Tự chứng minh                                                               \(\left(3\right)\)

Từ (1);(2) và (3) suy ra \(VT\ge3\left(ab+bc+ca\right)-2\)

Vậy \(\frac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}+\frac{b^5+c^5}{bc\left(b+c\right)}+\frac{c^5+a^5}{ca\left(c+a\right)}\ge3\left(ab+bc+ca\right)-2\)