Câu hỏi của võ đặng phương thảo

Question

CMR với $a,b,c\ge0$ thì $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}$

Tạ Duy Phương · Accepted Answer

Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z. Do đó $a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}$. BĐT đã cho tương đương với:

$\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{y+z-x}{x}+\frac{x+z-y}{y}+\frac{x+y-z}{z}\ge3$

$\Leftrightarrow\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\ge6\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\ge6$(1)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2$. Tương tự ta có $\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2;\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2$. Cộng từng vế ta có: (1) đúng suy ra đpcm.

Câu trả lời:

Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z. Do đó $a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}$. BĐT đã cho tương đương với:

$\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{y+z-x}{x}+\frac{x+z-y}{y}+\frac{x+y-z}{z}\ge3$

$\Leftrightarrow\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\ge6\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\ge6$(1)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2$. Tương tự ta có $\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2;\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2$. Cộng từng vế ta có: (1) đúng suy ra đpcm.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP