Làm xuôi thì đơn giản, tính \(F'\left(x\right)\) là xong (chịu khó biến đổi)

Làm ngược thì nhìn biểu thức hơi thiếu thân thiện

\(\int\dfrac{2\sqrt{2}\left(x^2-1\right)}{x^4+1}dx=\int\dfrac{2\sqrt{2}\left(x^2-1\right)}{\left(x^2-x\sqrt{2}+1\right)\left(x^2+x\sqrt{2}+1\right)}dx\)

Phân tách hệ số bất định:

\(\dfrac{2\sqrt{2}\left(x^2-1\right)}{\left(x^2-x\sqrt{2}+1\right)\left(x^2+x\sqrt{2}+1\right)}=\dfrac{a\left(2x-\sqrt{2}\right)}{x^2-x\sqrt{2}+1}+\dfrac{b\left(2x+\sqrt{2}\right)}{x^2+x\sqrt{2}+1}\)

Quan tâm tử số: \(a\left(2x-\sqrt{2}\right)\left(x^2+x\sqrt{2}+1\right)+b\left(2x+\sqrt{2}\right)\left(x^2-x\sqrt{2}+1\right)\)

\(=2\left(a+b\right)x^3+\sqrt{2}\left(a-b\right)x^2+\sqrt{2}\left(b-a\right)\)

Đồng nhất 2 tử số: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=0\\a-b=2\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(\dfrac{2\sqrt{2}\left(x^2-1\right)}{x^4+1}=\dfrac{2x-\sqrt{2}}{x^2-x\sqrt{2}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{2}}{x^2+x\sqrt{2}+1}\)

Cái tìm hệ số bất định ấy ạ, tại sao lại tách về 2x- căn 2 vậy anh? 

\(\left(x^2-x\sqrt{2}+1\right)'=2x-\sqrt{2}\)

\(\left(x^2+x\sqrt{2}+1\right)'=2x+\sqrt{2}\)

Yah, đỉnh quá anh ơi :> Này nữa ạ

\(\int\left(x+2\right)\sqrt{x^2+a}\left(a\ne0\right)\)

Dạng đổi biến Euler:

Đặt \(\sqrt{x^2+a}=x+t\Leftrightarrow a=t^2+2tx\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{a-t^2}{2t}\Rightarrow dx=\dfrac{-2t^2-\left(a-t^2\right)}{2t^2}dt=\dfrac{-t^2-a}{2t^2}dt\)

Do đó: \(I=\int\left(\dfrac{a-t^2}{2t}+2\right)\left(\dfrac{a-t^2}{2t}+t\right).\left(\dfrac{-t^2-a}{2t^2}\right)dt\)

Dạng nguyên hàm hữu tỉ đơn giản

Dạng biến đổi Euler là như nào z anh :> Anh giải thích hộ em zới :>

Ví dụ thế này:

https://bibomath.wordpress.com/2011/11/06/phep-th%E1%BA%BF-euler/

Kiểu nguyên hàm/tích phân này lên ĐH trong chương trình giải tích 1 ở 1 số trường ĐH sẽ dạy kĩ hơn

Yah, hỏi anh mới biết được mấy cái kiến thức như vầy chớ :D

Mấy hôm trước lớp em học dạng 0/0, em cứ tưởng là cả lớp em biết xài L'Hospital rồi cơ. Cho đến khi em nói cách làm thì thầy giáo mới bảo là này là kiến thức đại học :D Thôi kệ, ăn gian xài trước hack cho nhanh hihi :>

Mà tích phân bao nhiêu dạng vậy anh? Sương sương nãy giờ là 2 dạng rồi, vậy thì phương pháp để giải chắc phải nhiều lắm ha?

Có... rất nhiều (chính xác bao nhiêu dạng thì ko biết)

Chỉ riêng tích phân hữu tỉ đã 1 đống rồi, chưa nói đến vô tỉ 

Xợ hãi các thứ :(

Mà cái này tại sao phải xét đkxd rồi tách riêng th để tìm nguyên hàm vậy ạ?

\(\int\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(x+1\right)}dx\) 

Ko hiểu, tại sao phải tách?

Đặt \(\sqrt{x}=t\) là xong luôn còn gì?

Dạ sách em nó viết thế này ạ :( Em ko hiểu lắm. À phiền cái cổ của anh xí rồi :D rõ ràng em chụp dọc mà sao nó ra ngang được nhỉ, hoặc anh down về xem cho dễ cũng được ạ :>

Ủa đề của người ta khác mà, \(\dfrac{1}{\sqrt{x\left(x+1\right)}}\)

Cái này phải xét là đúng rồi, vì ko có gì đảm bảo dấu của \(x\)  và \(x+1\) để tách riêng chúng ra thành \(\sqrt{x}\) và \(\sqrt{x+1}\)

Mợ, cái đề bài đánh cũng sai, sr anh :(

Cơ mà em ko hiểu trường hợp 2 anh ạ :( Người ta nhân thêm dấu trừ vô trong căn được ạ?

Với cả ở trường hợp 2, lúc ra đáp án nó viết là -2n( căn....) mà em ko biết n ở đâu :(

\(-2ln\left(...\right)\), người ta đánh thiếu chữ \(l\)

\(\sqrt{-x};\sqrt{-x-1}\) bình thường, biểu thức dưới dấu căn dương là được, đâu có nghĩa \(-x-1\) là âm đâu?

Vậy là người ta đặt ẩn là căn(-x-1) và làm như bình thường thôi đk anh? Chết cha vẫn hơi điên cái đầu :D

Trong trường hợp \(x< -1< 0\), để đỡ phân vân thì bạn đặt \(t=-x>0\)

Đổi biến là thấy đỡ rắc rối với dấu (giống TH1)

A dạ được ạ, em cảm ơn anh nhìu nhìu nha :3 Ủa mà hình như 1r rồi hay sao ý nhỉ, với cả mai thứ 2, thôi ngủ thôi anh, mai em học onl nên em ngủ đây ko 7r vô lớp mà 8h mới dậy thì hơi toang :b Anh ngủ ngon nha hihi

Anh ơi anh, giúp iem câu này với ạ

\(\int\dfrac{x^3}{\left(x-1\right)^{10}}dx\)

Hì, lại làm phiền boss đêm khuya r :>

\(x-1=t\Rightarrow x=t+1\Rightarrow dx=dt\)

\(I=\int\dfrac{\left(t+1\right)^3}{t^{10}}dt=\int\left(t^{-7}+3t^{-8}+3t^{-9}+t^{-10}\right)dt\)

Anh thử xài Taylor đi anh :> 

Tại sao phải xài tới khai triển Taylor khi có thể sử dụng 1 pp đơn giản hơn rất nhiều là đặt ẩn phụ?

Biết 2 hơn 1 mà anh :> Anh thử làm đi mà, em tham khảo :>

Với cả có khi nào mà đặt ẩn phụ ko được, phải xài Taylor ko anh?

Tốt nhất là không nên thử.

Nó chỉ là phép khai triển để biến \(f\left(x\right)=x^3\) thành \(g\left(x-1\right)=a\left(x-1\right)^3+b\left(x-1\right)^2+c\left(x-1\right)+d\) thôi

Đa thức\(f\left(x\right)=x^3\) bậc 3 nên tính đạo hàm tới bậc 3

\(f'\left(x\right)=3x^2\) ; \(f^{\left(2\right)}\left(x\right)=6x\) ; \(f^{\left(3\right)}\left(x\right)=6\)

Theo công thức khai triển Taylor tại lân cận \(x=1\)

\(f\left(x\right)=f\left(1\right)+\dfrac{f'\left(1\right)}{1!}\left(x-1\right)+\dfrac{f^{\left(2\right)}\left(1\right)}{2!}\left(x-1\right)^2+\dfrac{f^{\left(3\right)}\left(1\right)}{3!}\left(x-1\right)^3\)

\(=1+\dfrac{3}{1}\left(x-1\right)+\dfrac{6}{2}\left(x-1\right)^2+\dfrac{6}{6}\left(x-1\right)^3\)

\(=\left(x-1\right)^3+3\left(x-1\right)^2+3\left(x-1\right)+1\)

Do đó:

\(I=\int\left(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^7}+\dfrac{3}{\left(x-1\right)^8}+\dfrac{3}{\left(x-1\right)^9}+\dfrac{1}{\left(x-1\right)^{10}}\right)dx\)

Ko, nếu đặt ẩn phụ không được thì Taylor cũng không được

Oki tks anh nhó :> Hôm nay hỏi thế này thôi ạ, tại nhiều dạng mà em học chậm rề rề ý :( Thôi anh ngủ ngon nha hihi :>

Lên Wikip thấy nó giải thích gì mà liên uan đến cả Lagrange và Maclaurin nên hơi hãi :(

Maclaurin là Taylor tại lân cận 0 thôi có gì đâu

Còn Lagrange thì liên quan gì ta? Phần dư Lagrange? Cái đó thì ko cần quan tâm, người ta coi như nó không tồn tại

Maclaurin là Taylor tại lân cận 0 là sao ạ? Nếu lận cận 0 thì.....? Anh thử nói đi anh :>