Giả sử tồn tại một tam giác có độ dài các đường cao là : h 1 = 1; h 2  = √3; h 3  = 1 + √3 (cùng đơn vị đo )

Gọi a 1 ; a 2 ; a 3  lần lượt là độ dài ba cạnh tương ứng với các đường cao  h 1 ;  h 2  ; h 3  .

Ta có: 

a 1 ; a 2 ; a 3  lần lượt là 3 cạnh của tam giác nên:

Vậy không tồn tại một tam giác có độ dài 3 đường cao lần lượt là 1; 3 1 +  3  (cùng đơn vị đo)

Ta có: \(BC^2=\left(\sqrt3+1\right)\cdot AC^2+\left(\sqrt3-1\right)\cdot AB\cdot AC\)

=>\(AB^2+AC^2=\left(\sqrt3+1\right)\cdot AC^2+\left(\sqrt3-1\right)\cdot AB\cdot AC\)

=>\(AC^2+AB^2=AC^2\cdot\sqrt3+AC^2+\sqrt3\cdot AB\cdot AC-AB\cdot AC\)

=>\(AB^2=AC^2\cdot\sqrt3+\sqrt3\cdot AB\cdot AC-AB\cdot AC\)

=>\(AB^2+AB\cdot AC=AC\sqrt3\left(AB+AC\right)\)

=>\(\left(AB+AC\right)\left(AB-AC\sqrt3\right)=0\)

=>\(AB-AC\sqrt3=0\)

=>\(AB=AC\sqrt3\)

=>\(\frac{AB}{AC}=\sqrt3\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{\sqrt3}\)

nên \(\hat{ABC}=30^0\)

Áp dụng Pytago \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4}=2\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\\AH^2=BH\cdot CH\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=1,5\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=0,5\left(cm\right)\\AH=\sqrt{1,5\cdot0,5}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay BC=6(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{C}=30^0\)

hay \(\widehat{B}=60^0\)

Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Trên nửa mp bờ BC có chứa điểm A lấy điểm D sao cho DB=DC=AB/căn 2. CMR BD DH và HA là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông