Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
thì phân tích thành nhân tử là oke
\(x^2+x+1>0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)*đúng*
Ta có:\(x^2+x+1=\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
Vì\(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\in R\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\left(đpcm\right)\)
\(x^2+x+1=x^2+2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
Vì (x+1/2)^2 \(\ge\)0 nên (x+1/2)^2 +3/4 >0
hk tốt
tk đi
Bài 1:
a: Mệnh đề phủ định là \(\exists x\in R;x^2< x\)
b: Mệnh đề P sai vì với 0<x<1 thì \(x^2< x\)
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)
\(x+\sqrt{x^2-x+1}>0\)
\(\Rightarrow x+\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}>-x\)
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{16}>x^2\)
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+x^2+\frac{9}{16}>0\) với mọi x
bây h giải bpt trên : \(x+\sqrt{x^2-x+1}>0\)
<=> \(\sqrt{x^2-x+1}\)>-x
TH1: \(\begin{cases}-x< 0\\x^2-x+1\ge0\end{cases}\)<=>\(\begin{cases}x>0\\x\in R\end{cases}\)=> x>0
TH2: \(\begin{cases}-x\ge0\\x^2-x+1>x^2\end{cases}\)<=> \(\begin{cases}x\le0\\x< 1\end{cases}\)=> x\(\le\)0
kết hợp 2 TH
tập nghiệm x \(\in\)R
=> ĐPCM
Ta có : \(x+\sqrt{x^2-x+1}=x+\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\)
Đến đây ta xét hai trường hợp :
1. Nếu \(x\ge0\) , dễ thấy đpcm vì \(\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}>0\)
2. Nếu x < 0 , giả sử \(x=-a\) (\(a\in R,a>0\))
Khi đó ta có : \(x+\sqrt{x^2-x+1}=-a+\sqrt{a^2+a+1}\)
Ta sẽ chứng minh \(\sqrt{a^2+a+1}>a\)
Điều này tương đương với \(a^2+a+1>a^2\Leftrightarrow a+1>0\)(luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
Xét f(x)= x+\(\sqrt{x^2-x+1}\) , ta có: f(x)=0\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x^2-x+1}\)= - x \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\le0\\x^2-x+1=x^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\le0\\x=1\end{cases}\) vô lí \(\Rightarrow\) vô nghiệm \(\Rightarrow\) đồ thì f(x) không cắt Ox, mà f(1)=2 > 0 \(\Rightarrow\) f(x) > 0, với mọi x \(\in R\)
Mọi người xem thử chứng minh cách này có được không? có sai gì không vậy?