Ta co:7 ^4n -1=(7 ^4 )^ n -1=2401 ^n -1=..........1-1=...........0 chia hết cho 5 =>dpcm

Câu a:

Gọi ƯCLN(9n + 7; 4n + 3) = d, khi đó:

(9n + 7) ⋮ d và (4n + 3) ⋮ d

[36n + 28] ⋮ d và [26n + 27] ⋮ d

[36n + 28 - 36n- 27] ⋮ d

[(36n - 36n) + (28 - 27)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

d = 1

Vậy 9n + 7 và 4n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. (đpcm)

b, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n^2+n+2016 không chia hết cho 5.

Giải:

Giả sử biểu thức đã cho chia hết cho 5 với mọi n ∈ N khi đó:

Với n = 0 thì:

n^2 + n + 2016 = 0 + 0+ 2016 = 2016 chia hết cho 5 vô lí

Vậy điều giả sử là sai hay n^2+n+2016 không chia hết cho 5.

Với mọi số tự nhiên n.

Ta có: \(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)

Do n; n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp 

=> n ( n + 1) chia hết cho 2.

=> n ( n+ 1)  + 1 không chia hết chia hết cho 2

=> \(n^2+n+1\)không chia hết cho 2

=> \(n^2+n+1\) không chia hết cho 4.

Giả sử như mệnh đề trên đúng : 
n^2+1 chia hết cho 4 
* Nếu n chẵn : n = 2k , k thuộc N 
=> n^2 +1 = 4k^2 +1 k chia hết cho 4 
* nếu n lẻ : n = 2k + 1 
=> n^2 +1 = 4k^2 +4k +2 
=> n^2 +1 = 4k(k+1)+2 
k , k +1 là 2 số tự nhiên liên tiếp 
=> k(k+1) chia hết cho 2 
=> 4k(k+1)chia hết cho 4 
=> 4k(k+1)+2 chia cho 4 , dư 2 
=> 4k (k+1)+2 k chia hết cho 4

n²+n+2016
=n²+n+1+2015
Ta xét ra 5 trường hợp n² có chữ số tận cùng là: 1,4,5,6,9.
Bc cuối bạn có thể tự làm nhé.
Chúc may mắn!!!
 

+) Xét n=5k

=>\(n^2+n+2016=25k^2+5k+2016=5\left(5k^2+k+403\right)+1\) không chia hết cho 5

+) Xét n=5k+1

=>\(n^2+n+2016=\left(5k+1\right)^2+5k+1+2016=25k^2+10k+1+5k+1+2016\)

\(=25k^2+15k+2018=5\left(5k^2+3k+403\right)+3\) không chia hết cho 5

+) Xét n=5k+2

=>\(n^2+n+2016=\left(5k+2\right)^2+5k+2+2016=25k^2+20k+4+5k+2+2016\)

\(=25k^2+25k+2022=5\left(5k^2+5k+404\right)+2\) không chia hết cho 5

+) Xét n=5k+3

=>\(n^2+n+2016=\left(5k+3\right)^2+5k+3+2016=25k^2+30k+9+5k+3+2016\)

\(=25k^2+35k+2028=5\left(5k^2+7k+405\right)+3\) không chia hết cho 5

+) Xét n=5k+4

=>\(n^2+n+2016=\left(5k+4\right)^2+5k+4+2016=25k^2+40k+16+5k+4+2016\)

\(=25k^2+45k+2036=5\left(5k^2+9k+407\right)+1\) không chia hết cho 5

Từ 5 trường hợp trên => đpcm