Ta có : 

\(4m^2+m=5n^2+n\)

\(\Leftrightarrow5m^2+m=5n^2+n+m^2\)

\(\Leftrightarrow5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m-n⋮d\\5m+5n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2=\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d^2\\5\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m⋮d\\10m+1⋮d\end{cases}\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)

Vậy \(m-n,5m+5n+1\) nguyên tố cùng nhau . Mà tích của chúng là một số chính phương nên bản thân \(m-n,5m+5n+1\) cũng là số chính phương ( đpcm)

Chúc bạn học tốt !!!

\(\frac{2011^3+11^3}{2011^3+2000^3}=\frac{\left(2011+11\right)\left(2011^2+11^2-11.2011\right)}{\left(2011+200\right)\left(2011^2+2000^2-2000.2011\right)}\)

Cần chứng minh \(2011^2+11^2-2011.11=2011^2+2000^2-2000.2011\)

Điều này không khó.

\(B=1-\frac{2}{x}+\frac{2011}{x^2}=2011t^2-2t+1\text{ (với }t=\frac{1}{x}\text{)}\)

->Gộp hằng đẳng thức....

\(A=\left|\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2\right|-\left(x+y-1\right)^2+2xy\)

\(=\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2-\left(x^2+y^2-2x-2y+2xy+1\right)+2xy\)

\(=4x-2y+4\)

thay số.Lưu ý: \(y=16^{503}=\left(2^4\right)^{503}=2^{2012}\)

1/Vì x,y,z là số chính phương nên x,y,z chia 3 dư 0 hoặc 1 và x,y,z chia 4 dư 0 hoặc 1 (tự CM) 

TH1: x,y,z chia 3 dư 0 hoặc 1

Có: (x-y)(y-z)(z-x)

Vì x,y,z chia 3 dư 0 hoặc 1 nên có ít nhất 1 số chia hết cho 3

Suy ra: (x-y)(y-z)(z-x) chia hết cho 3 (1)

Tương tự: (x-y)(y-z)(z-x) chia hết cho 4 (2)

Từ (1) và (2)

Vậy (x-y)(y-z)(z-x) chia hết cho 12

2/ Có: 

\(4m^2+m=5n^2+n\)

\(\Leftrightarrow5m^2-5n^2+m-n=m^2\)

\(\Leftrightarrow5\left(m-n\right)\left(m+n\right)+\left(m-n\right)=m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)

Do đó: để CM m-n và 5m+5n+1 là scp thì chúng phải là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi d là \(ƯCLN\left(m-n;5m+5n+1\right)\)

Do đó: \(\hept{\begin{cases}m-n⋮d\\5m+5n+1⋮d\end{cases}\Leftrightarrow m^2⋮d^2}\Leftrightarrow m⋮d\)

Suy ra: \(n⋮d\)

Hay: \(5m+5n⋮d\)

Mà \(5m+5n+1⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vì thế m-n và 5m+5n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Vậy KL.....

bạn thi hsg ak bài nay dễ mak

có 4m^2+m=5n^2+n

<=>m-n+5m^2-5n^2=m^2

<=>(m-n)(5m+5n+1)=m^2         (1)

gọi ƯCLN(m-n;5m+5n+1)=d ta c/m d=1

có m-n chia hết d; m,n là các số tự nhiên

<=>5m-5n chia hết d

và có 5m+5n+1 chia hết d

=>10m+1 chia hết d                          (2)

(1)=> m^2 chia hết cho d 

=>m chia hết d (m là số tự nhiên)

=>10m chia hết cho d                        (3)

từ (2),(3)=>1 chia hết cho d

=>d =1                                              (4)

từ (1),(4)=>đpcm.

bài này phải áp dụng kiến thức lớp 6 vào .

mik nhầm chút

(1)=> m^2 chia hết d^2