\(n^2+2002=k^2\Leftrightarrow2002=k^2-n^2=\left(k-n\right).\left(k+n\right)\)

ta thấy k-n và k+n cùng tính chẵn lẻ 

Mà 2002 chẵn => (k-n).(k+n) đều chẵn khi đó (k-n).(k+n) chia hết cho 2  

mà 2002=2.7.11.13

Vậy không tồn tại n thuộc N để n²+2002 là SCP

p/s: có cách ngắn hơn làm với ạ :) + t ko rõ đúng hay sai =,='

tối mai duyệt nhé.h đi ngủ đã:))

Bài 1:

a ) Ta có :  A là tổng các số hạng chia hết cho 3 => A \(⋮\)3                            

                  A có 3 không chia hết cho 9 => A không chia hết cho 9

=>  A \(⋮\)3 nhưng không chia hết cho 9

=> A không phải là số chính phương

Bài 2:

Gọi 2 số lẻ có dạng 2k+1 và 2q+1 (k,q thuộc N)

Có : A = (2k+1)^2+(2q+1)^2

           = 4k^2+4k+1+4q^2+4q+1

           = 4.(k^2+k+q^2+q)+2

Ta thấy A chia hết cho 2 nguyên tố

Lại có : 4.(q^2+q+k^2+k) chia hết cho 4 mà 2 ko chia hết cho 4 => A ko chia hết cho 4

=> A chia hết cho 2 nguyên tố mà A ko chia hết cho 4 = 2^2

=> A ko là số  chính phương

=> ĐPCM

Theo đề bài, lập biểu thức sau:

\(ab+4=x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-4=ab\)

\(\Leftrightarrow x^2-2^2=ab\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right)\left(x-2\right)=ab\) (luôn đúng với mọi ab)

=> đpcm

Đặt \(ab+4=m^2\left(m\in N\right)\)

\(\Rightarrow ab=m^2-4=\left(m-2\right)\left(m+2\right)\)

\(\Rightarrow b=\frac{\left(m-2\right)\left(m+2\right)}{a}\)

Ta có : \(m=a+2\Rightarrow m-2=a\)

\(\Rightarrow b=\frac{a\left(a+4\right)}{a}=a+4\)

Vậy với mọi số tự nhiên \(a\) luôn tồn tại \(b=a+4\) để \(ab+4\) là số chính phương .

Giả sử tam giác đã cho là ABC . Gọi M,N,P là trung điểm của các cạnh  BC,CA,AB và G là trọng tâm của tam giác . Lấy \(A_0,B_0,C_0,X,Y,Z,T,S,R\)lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng GA,GB,GC,BM,CM,CN,AN,AP,BP . Tam giác ABC chia thành 12 phần = nhau

Theo nguyên lý Dirichlet , trong số 13 điểm đã cho tồn tại hai điểm cùng thuộc 1 phần . Do cạnh của tam giác ABC = 6cm  nên \(GA_0=AA_0\)= \(GB_0=BB_0=CC_0=GC_0=\sqrt{3cm}\)

a) Giả sử không có 2 số nào bằng nhau trong các số nguyên dương đẫ cho.

Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(a1< a2< a3< a4< ...< a100\)

Nên : \(a1\ge1;a2\ge2;a3\ge3;...;a100\ge100\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\)

Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}< \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+99.\frac{1}{2}=\frac{101}{2}\)

( \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}< \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}\)có 99 phân số 1/2 )

\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}< \frac{101}{2}\)trái với đề bài ra là \(\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\ge\frac{101}{2}\)

Vậy tồn tại trong 100 số đã cho ít nhất 2 số bằng nhau ( điều phải chứng minh ).

b) Giả sử trong 100 số trên chỉ tồn tại 2 số bằng nhau ( đã chứng minh 2 số bằng nhau ở phần a)

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: 

b) Làm tiếp : Giả sử a1=a2.

Nên : \(a1=a2>a3>a4>...>a100\)( áp dụng theo phần a)

\(\Rightarrow a1=a2\ge1;a3\ge2;a4\ge3;...;a100\ge99\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le\frac{2}{a1}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}=\frac{2}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{99}\)

Mặt khác, ta có :\(\frac{2}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{99}< 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3}=\frac{5}{2}+\frac{97}{3}=\frac{209}{6}\)

( \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3}\)có 97 phân số 1/3 )

\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}< \frac{209}{6}< \frac{303}{6}=\frac{101}{2}\)trái với đề bài

Tương tự giả sử lấy bất kỳ 2 số bằng nhau khác tổng \(\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\)vẫn nhỏ hơn 101/2

Vậy tồn tại trong 100 số đã cho có ít nhất 3 số bằng nhau ( điều phải chứng minh).

a) Có \(P\left(1\right)=2.1^2+2m.1+m^2=2+2m+m^2\)

\(Q\left(1\right)=\left(-1\right)^2+4\left(-1\right)+5=1-4+5=2\). Vì \(P\left(1\right)=Q\left(-1\right)\)

\(\Rightarrow2+2m+m^2=2\Leftrightarrow2m+m^2=2-2=0\Leftrightarrow m\left(2+m\right)=0\)

\(\Rightarrow m=0\) hoặc \(2+m=0\Leftrightarrow m=0-2=-2\)

b) Đặt \(Q\left(x\right)=x^2+4x+5=0\Leftrightarrow x^2+4x=0-5=-5\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+4\right)=-5\). Từ đó bạn lập bảng ra sẽ thấy k có trường hợp thỏa mãn => Vô nghiệm