Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, \(A=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
\(\Rightarrow A< 1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)
\(\Rightarrow A< 1+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)
\(\Rightarrow A< 1+\left(1-\frac{1}{100}\right)\Rightarrow A< 1+1-\frac{1}{100}\Rightarrow A< 2-\frac{1}{100}\Rightarrow A< 2\left(ĐPCM\right)\)
b, \(B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2012^2}\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2011\cdot2012}\)
\(\Rightarrow B< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(\Rightarrow B< 1-\frac{1}{2012}\Rightarrow B< 1\left(1\right)\)
\(B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2012^2}\)
\(\Rightarrow B>\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+...+\frac{1}{2012\cdot2013}\)
\(\Rightarrow B>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}\)
\(\Rightarrow B>\frac{1}{2}-\frac{1}{2013}\Rightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{2013}< B\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{2}-\frac{1}{2013}< B< 1\)
a)A=1+1/22+1/32+....+1/1002
<1+1/1.2+1/2.3+...+1/99.100=1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/99-1/100=2-1/100=199/200<2
b)B=1/22+1/32+...+1/20122
<1/1.2+1/2.3+...+1/2011.2012=1-1/2+1/2-1/3+...+1/2011-1/2012=1-1/2012=2011/2012
1/2-1/2013=2011/4026<2011/2012<1
ta có 1/2!+2/3!+....+2003/2004! (! là gì?: ví dụ 2!=1.2 ; 3!=1.2.3 ; 4!=1.2.3.4 )
=(2-1)/2!+(3-1)/3!+(4-1)/4!+........+(2004-1)/2004!
=2/2!-1/2!+3/3!-1/3!+4/4!-1/4!+.....+2004/2004!-1/2004!
=1-1/2!+1/2!-1/3!+1/3!-1/4!+....+1/2003!-1/2004!
=1/1/2004!<1
vậy biểu thức <1
Gọi số bác sĩ là k thì số kĩ sư là 45 - k ; tổng tuổi các bác sĩ là 39k ; tổng tuổi các kĩ sư là 33 x (45 - k) = 1485 - 33k
Tuổi trung bình của 45 người là :\(\frac{39k+1485-33k}{45}=35\)
=> 1485 + 6k = 1575 => 6k = 90 => k = 15.Vậy có 15 bác sĩ
a)Ta có: \(\frac{3}{1.4}=\frac{4-1}{1.4}=1-\frac{1}{4}\)
\(\frac{3}{4.7}=\frac{7-4}{4.7}=\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\)
... . . . .
\(\frac{3}{n\left(n+3\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\)
\(\Leftrightarrow S=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}< 1^{\left(đpcm\right)}\)
b) Ta có: \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{9.10}\)
\(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{9.10}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\)
Suy ra \(\frac{2}{5}< S\) (1)
Ta lại có: \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}\)
Mà \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\)
Từ đó suy ra S < 8/9
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Câu 1a:
A = \(\frac{12n+1}{30n+2}\)
Gọi ước chung lớn nhất của (12n + 1; 30n + 2) = d
Khi đó: (12n + 1) ⋮ d và (30n + 2) ⋮ d
(60n + 5) ⋮ d và (60n + 4) ⋮ d
[60n + 5 - 60n - 4] ⋮ d
[(60n - 60n) + (5 - 4)] ⋮ d
[0 + 1] ⋮ d
1 ⋮ d
d = 1
Vậy d = 1 Hay phân số đã cho là phân số tối giản đpcm
b; B = \(\frac{14n+17}{21n+25}\)
Gọi ƯCLN(14n + 17; 21n + 25) = d. Khi đó:
(14n + 17) ⋮ d; 21n + 25) ⋮ d
(42n + 51) ⋮ d; (42n + 50) ⋮ d
[42n + 51 - 42n - 50] ⋮ d
[(42n - 42n) + (51 - 50)] ⋮ d
[0 + 1] ⋮ d
1 ⋮ d
d = 1 hay phân số đã cho là phân số tối giản Đpcm
Mình làm được phần a thôi. Sorry
a, Đặt \(A=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+...+\left(\frac{1}{2}\right)^{100}\)
\(2A=1+\frac{1}{2}+...+\left(\frac{1}{2}\right)^{99}\)
\(2A-A=\left[1+\frac{1}{2}+...+\left(\frac{1}{2}\right)^{99}\right]-\left[\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^2-...-\left(\frac{1}{2}\right)^{100}\right]\)
\(A=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{100}\)
Vậy A<2
Đặt \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+......+\frac{1}{2003^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+......+\frac{1}{2002.2003}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+......+\frac{1}{2002}-\frac{1}{2003}\)
\(=1-\frac{1}{2003}< 1\)
Vậy S<1
bạn có thể giải rõ ra được ko
ta co 1/2^2<1/1*2+1/3^2+1/2*3+...+1/2003^2 1/2002*2003
1/2^2+1/3^2+...+1/2003^2<1/1*2+1/2*3+...+1/2002*2003
1/2^2+1/3^2+...+1/2003^2<1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/2002-1/2003
1/2^2+1/3^2+...+1/2003^2<1-1/2003
1/2^2+1/3^2+...+1/2003^2<2002/2003<1
Vậy 1/2^2+1/3^2+...+1/2003^2<1