a: \(\left(2n+3\right)^2-9\)

\(=\left(2n+3-3\right)\cdot\left(2n+3+3\right)\)

\(=2n\left(2n+6\right)=2n\cdot2\left(n+3\right)=4n\left(n+3\right)\)

Vì n;n+3 có khoảng cách giữa hai số là 3 là số lẻ

nên n(n+3)⋮2

=>4n(n+3)⋮4*2=8

=>\(\left(2n+3\right)^2-9\) ⋮8

b: \(\left(4n+3\right)^2-25\)

\(=\left(4n+3+5\right)\left(4n+3-5\right)\)

=(4n+8)(4n-2)

\(=4\left(n+2\right)\cdot2\cdot\left(2n-1\right)=8\left(n+2\right)\left(2n-1\right)\) ⋮8

nhìn là hết muốn làm

sao dài dòng quá vậy, như thế thì ai mà làm nổi, bạn phải hỏi từng bài 1 chứ

Nhìn là muốn chạy rùi

^-^

đăng giết người à           

Nhìn là hết muốn làm.

a) Vì n lẻ nên n có dạng 2k + 1

\(=>A=\left(2k+1\right)^2+4\left(2k+1\right)+3\)

\(=4k^2+4k+1+8k+4+3\)

\(=4k^2+12k+8=4k\left(k+3k\right)+8\)

Vì k lẻ nên k +3k lẻ \(=>k+3k⋮2=>4k\left(k+3k\right)⋮8=>4k\left(k+3k\right)+8⋮8\)

b)\(A=n^3+3n^2-n-3\)

\(=n\left(n^2-1\right)+3\left(n^2-1\right)=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì n lẻ nên n- 1 và n + 1 là 2 số chẵn liên tiếp , trong đó có 1 số chia hết cho 4 số còn lại chia hết cho 2

\(=>\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮8\)

Lại có \(n+3⋮2\)(vì n lẻ) nên \(A=n^3+3n^2-n-3⋮16\)(1)

Vì n là số nguyên nên n có dạng 3k , 3k+1 , 3k-1

Thế vào A bạn chứng minh đc số đó chia hết cho 3 mà theo (1) nó chia hết cho 16 nên A chia hết cho 48

3. \(1998=a_1+a_2+a_3\) với \(a,b,c\in N\)

Xét hiệu \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)-\left(a_1+a_2+a_3\right)\)

\(=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+\left(a_3^3-a_3\right)\)

\(=a_1\left(a_1^2-1\right)+a_2\left(a_2^2-1\right)+a_3\left(a_3^2-1\right)\)

\(=\left(a_1-1\right).a_1.\left(a_1+1\right)+\left(a_2-1\right).a_2.\left(a_2+1\right)+\left(a_3-1\right).a_3.\left(a_3+1\right)\)

Dễ thấy mỗi số hạng là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên ắt tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

=> Mỗi số hạng chia hết cho 6

=> Hiệu \(\left[\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)-\left(a_1+a_2+a_3\right)\right]⋮6\)

Hay \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)\) và \(\left(a_1+a_2+a_3\right)\) có cùng số dư khi chia cho 6

=> \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)\) và 1998 có cùng số dư khi chia cho 6

Nên \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)⋮6\)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

\(a,n^5-5n^3+4n\)

\(=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)

\(=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)\)

\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-4\right)\right]\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2;3;4;5\)\(\Rightarrow\) \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮120\) Hay \(n^5-5n^3+4⋮120\)

a)Đặt \(A=n^3+6n^2+8n\)

\(A=n\left(n^2+6n+8\right)\)

\(A=n\left(n^2+2n+4n+8\right)\)

\(A=n\left[n\left(n+2\right)+4\left(n+2\right)\right]\)

\(A=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)⋮\forall n\) chẵn

b)Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)

\(B=n^4-n^2-9n^2+9\)

\(B=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

\(B=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)⋮384\forall n\) lẻ

Ta có : \(\left(5n+2\right)^2-4\)

         \(=\left(5n+2-2\right).\left(5n+2+2\right)\)

         \(=5n\left(5n+4\right)\)

Vì \(5⋮5\) nên \(\left(5n+2\right)^2-4⋮5\forall n\in Z\)

(5n+2)^2 - 4 = (25n^2 + 2*2*5n + 2^2) - 4 = 25n^2 + 20n + 4 - 4 
= 25n^2 + 20n = 5n(5n + 4) 

--> (52+2)^2 - 4 = 5n(5n + 4) 
Mà 5 chia hết cho 5 
-->5n(5n + 4) chia hết cho 5