a) Ta có:

\( A = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \)

Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét tổng S = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \) (mod 5).

Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 5, \( 5^2 \) chia hết cho 5, \( 5^3 \) chia hết cho 5, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{100} \).

Vì vậy, ta có: \( S \equiv 0+0+0+\ldots+0 \equiv 0 \) (mod 5).

Do đó, A chia hết cho 5.

Để chứng minh A không chia hết cho 25, ta xét tổng T = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \) (mod 25).

Ta thấy rằng \( 5 \) không chia hết cho 25, \( 5^2 \) không chia hết cho 25, \( 5^3 \) không chia hết cho 25, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{100} \).

Vì vậy, ta có: \( T \equiv 5+0+0+\ldots+0 \equiv 5 \) (mod 25).

Do đó, A không chia hết cho 25.

b) Ta có:

\( B = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{20} \)

Để chứng minh B chia hết cho 6, ta xét tổng U = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{20} \) (mod 6).

Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 6, \( 5^2 \) không chia hết cho 6, \( 5^3 \) không chia hết cho 6, \( 5^4 \) chia hết cho 6, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{20} \).

Vì vậy, ta có: \( U \equiv 5+1+1+\ldots+1 \equiv 5 \) (mod 6).

Do đó, B chia hết cho 6.

c) Ta có:

\( C = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{2022}+5^{2023} \)

Để chứng minh C không chia hết cho 6, ta xét tổng V = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{2022}+5^{2023} \) (mod 6).

Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 6, \( 5^2 \) không chia hết cho 6, \( 5^3 \) không chia hết cho 6, \( 5^4 \) chia hết cho 6, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{2022} \) và \( 5^{2023} \).

Vì vậy, ta có: \( V \equiv 5+1+1+\ldots+1 \equiv 2 \) (mod 6).

Do đó, C không chia hết cho 6.

d) Ta có:

\( D = 1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{2021} \)

Để chứng minh D chia hết cho 7, ta xét tổng W = \( 1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{2021} \) (mod 7).

Ta thấy rằng \( 2 \) không chia hết cho 7, \( 2^2 \) chia hết cho 7, \( 2^3 \) không chia hết cho 7, \( 2^4 \) không chia hết cho 7, \( 2^5 \) không chia hết cho 7, \( 2^6 \) chia hết cho 7, và tiếp tục

mong mn cho minh vai xu :)))))))))))))))))))))))))))))))))

bạn Tiến Dũng Trương lm sai r

a, A = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁰⁰

    A = 5. ( 1 + 5 + ...+ 5⁹⁹)

    5 ⋮ 5 ⇒A =  5.(1 + 5 + ...+ 5⁹⁹) ⋮ 5 (1) 

A  = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁰⁰

A  = 5 + 5².( 1 + 5 + 5² + ... + 5⁹⁸)

A = 5 + 25 . ( 1 + 5 + 5² +...+ 5⁹⁸)

Vì 25 ⋮ 25 nên 25.(1 + 5 + 5² +... + 5⁹⁸) ⋮ 25 

5 không chia hết cho 25 nên 

A = 5 + 25.( 1 + 5 +...+ 5⁹⁸) không chia hết cho 25 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

A ⋮ 5 nhưng không chia hết cho 25 (đpcm)

b, B = 5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰

   Xét dãy số: 1; 2; 3; ...; 20 Dãy số này có 20 số hạng nên A có 20 số hạng. Nhóm 2 số hạng liên tiếp của A thành 1 nhóm vì 20 : 2 =  10 nên

B = (5 + 5²) + (5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶) +...+ (5¹⁹ + 5²⁰)

B = 5.(1 + 5) + 5³.(1 + 5) +...+ 5¹⁹. (1 + 5)

B = 5.6 + 5³.6 +...+ 5¹⁹. 6

B = 6.(5 + 5³ +...+ 5¹⁹)

Vì 6 ⋮ 6 nên 6.(5 + 5³ + ... + 5¹⁹) ⋮ 6 hay B = 5 + 5²+...+5²⁰⋮6(đpcm)

c, C = 5 + 5² + 5³ +...+ 5²⁰²² + 5²⁰²³

    Xét dãy số: 1; 2; 3; ...;2023 dãy số này có 2023 số hạng vậy C có 2023 hạng tử. Nhóm 2 hạng tử liên tiếp của A thành một nhóm, vì 

2023 : 2 = 1011 dư 1 nên 

C = 5 + (5² + 5³) + ... + (5²⁰²² + 5²⁰²³)

 C = 5 + 5².( 1 + 5) +...+ 5²⁰²².(1 + 5)

C = 5 + 5².6 + ...+ 5²⁰²².6

C  = 5 + 6.(5² +...+ 5²⁰²²)

Vì 6 ⋮  6 nên 6.(5² + ... + 5²⁰²²) ⋮ 6

5 không chia hết cho 6 nên C  không chia hết cho 6(đpcm)

D = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²¹

D = 2⁰ + 2¹ + 2² + ... + 2²⁰²¹

Xét dãy số: 0; 1; 2;...; 2021 dãy số này có số số hạng là:

      (2021 - 0) : 1 + 1 = 2022 (số hạng)

Vậy D có 2022 hạng tử. Nhóm 3 hạng tử liên tiếp của D thành 1 nhóm, vì 2022 : 3 = 674

Vậy D = (1 + 2 + 2²) + ... + (2²⁰¹⁹ + 2²⁰²⁰ + 2²⁰²¹)

       D = 7 + ... + 2²⁰¹⁹.( 1 + 2 + 2²)

       D = 7 +... + 2²⁰¹⁹ .7

      D = 7.(1 + ... + 2²⁰¹⁹)

Vì 7 ⋮ 7 nên 7.(1 + ...+ 2²⁰¹⁹) ⋮ 7 

Vậy D ⋮ 7 (đpcm)