\(8^6+2^{20}+9^{10}-10\cdot3^{17}\)

\(=2^{18}+2^{20}+3^{20}-10\cdot3^{17}\)

\(=2^{18}\left(1+2^2\right)-3^{17}\left(3^3-10\right)\)

\(=2^{18}\cdot5-3^{17}\cdot17\) không chia hết cho 17

Ta có : \(17^517.17^4\)có chữ số tận cùng là 7

            \(24^4\)có chữ số tận cùng là 6

            \(13^{21}=13.\left(13^4\right)^5\)có tận cùng là 3 (\(13^4\)có tận cùng là 1)

           Vậy \(17^5+24^4+13^{21}\)có tận cùng ta \(7+6-3=10\)chia hết cho \(10\)

\(A=10^{2012}+10^{2011}+10^{2009}+8\)

\(A=10^{2009}\left(10^3+10^2+10^1+8\right)\)

\(A=10^{2009}.1111+8\)

\(A=11110.....8\)( 2009 c/s 0 )

Không có số chính phương nào có tận cùng là 8

\(\Rightarrow\) A không phải là số chính phương.

A  có ba chữ số tận cùng là 008 nên \(A⋮8\) ( 1 )

A có tổng các chữ số là 9 nên \(A⋮3\) ( 2 )

 Từ (1)(2)  kết hợp với ( 3,8 )=1 \(\Rightarrow A⋮24\)

Ta có : \(a-11b+3c⋮17\)

\(\Leftrightarrow19.\left(a-11b+3c\right)⋮17\)

\(\Leftrightarrow19a-209b+57c⋮17\)

\(\Leftrightarrow\left(17a-204b+51c\right)+\left(2a-5b+6c\right)⋮17\)

\(\Rightarrow\left(2a-5b+6c\right)⋮17\)(vì 17a - 204b + 51c đã chia hết cho 17 ) 

\(\RightarrowĐCPM\) 

sửa đề : \(\frac{9}{10!}+\frac{10}{11!}+\frac{11}{12!}+...+\frac{99}{100!}\)

\(=\frac{10-1}{10!}+\frac{11-1}{11!}+\frac{12-1}{12!}+...+\frac{100-1}{100!}\)

\(=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}+...+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)

\(=\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}< \frac{1}{9!}\left(đpcm\right)\)

b)   \(69^2-69.5\)
= 69 . 69 -69 . 5
= 69 . (69 - 5)
=69 . 64
Vì 64 \(⋮\)32 nên 69 . 64 hay \(69^2\)- 69.5 \(⋮\)32