a)    n=-1

Xét A=2n+1/3n+1

Gọi d là ƯCLN của 2n+1 và 3n+1, ta có

2n+1 chia hết cho d \(\Rightarrow\)3(2n+1) chia hết cho d \(\Rightarrow\)6n+3 chia hết cho d (1)

3n+1 chia hết cho d \(\Rightarrow\)2(3n+1) chia hết cho d \(\Rightarrow\)6n+2 chia hết cho d (2)

Lấy (1) - (2), ta có:

6n+3-(6n+2) chia hết cho d \(\Rightarrow\)6n+3-6n-2 chia hết cho d \(\Rightarrow\)(6n-6n)+(3-2) chia hết cho d

                                        \(\Rightarrow\)1 chia hết cho d \(\Rightarrow\)d=1

Vì ƯCLN(2n+1;3n+1)=1 nên 2n+1 và 3n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Do đó A=2n+1/3n+1 là phân số tối giản (đpcm)

Xét B=12+1/30+1

Cách giải tương tự như trên, ta có 5(12n+1)-2(30n+2) chia hết cho d

                                              \(\Rightarrow\)60n+5-(60n+4) chia hết cho d

                                              \(\Rightarrow\)1 chia hết cho d

                                              \(\Rightarrow\)d=1

Suy ra B=12n+1/30n+2 là phân số tối giản (đpcm)

Gọi d = ƯCLN(2n + 1; 3n + 2) (d thuộc N*)

=> 2n + 1 chia hết cho d; 3n + 2 chia hết cho d

=> 3.(2n + 1) chia hết cho d; 2.(3n + 2) chia hết cho d

=> 6n + 3 chia hết cho d; 6n + 4 chia hết cho d

=> (6n + 4) - (6n + 3) chia hết cho d

=> 6n + 4 - 6n - 3 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d = 1

=> ƯCLN(2n + 1; 3n + 2) = 1

Chứng tỏ phân số 2n + 1/3n + 2 tối giản

\(UCLN\left(12n+1;30n+2\right)=d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow60n+5-60n-4⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=\pm1\)

\(\Rightarrow\frac{12n+1}{30n+2}\) la phan so toi gian

Gọi \(d\inƯC\left(12n+1,30n+2\right)\Rightarrow12n+1⋮d,30n+2⋮d\)

\(\Rightarrow5\left(12n+1\right)⋮d\)và \(2\left(30n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\left[\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)\right]⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)

Vậy \(\frac{12n+1}{30n+2}\)là phân số tối giản

Hướng dẫn: Đặt (tử, mẫu)=d

Phương pháp: Tìm được d = 1.

Cách làm: Nhân tử với a, nhân mẫu với b (a, b là số nguyên) sao cho khi trừ đi 2 kết quả mới triệt tiêu được 2 biểu thức chứa n. 

                Cuối cùng sẽ tìm được 1 là bội của b => d=1

Còn lại cậu tự làm nhé!

Câu c:

C = \(\frac{12n+1}{30n+2}\) (n ∈ N)

Gọi ƯCLN(12n + 1; 30n + 2) = d khi đó:

(12n + 1) ⋮ d và (30n + 2) ⋮ d

[5.(12n + 1)] ⋮ d và [2(30n + 2)] ⋮ d

[60n + 5] ⋮ d và [60n + 4] ⋮ d

[60n + 5 - 60n - 4] ⋮ d

[(60n - 60n) + (5 - 4)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

1 ⋮ d

d = 1

Phân số đã cho là phân số tối giản (đpcm)

Gọi d là ước chung nguyên tố của n+1 và 2n+3

\(\Rightarrow n+1⋮d;2n+3⋮d\)

\(n+1⋮d\)

\(\Rightarrow2.\left(n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n+2⋮d\left(1\right)\)

\(2n+3⋮d\left(2\right)\)

+)Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n+3-2n-2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

Mà d nguyên tố

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy phân số \(\frac{n+1}{2n+3}\) nguyên tố với mọi n tự nhiên

Cac phần khác bn làm tương tự nha

Chúc bn học tốt

thank you bạn nhé !!!!

Gợi ý thôi chứ giải ra dài lắm !!

\(\frac{a}{b}\) tối giản khi và chỉ khi UCLN(a;b)=1

Câu a:

A = \(\frac{12n+1}{30n+2}\) (n ∈ N)

Gọi ƯCLN(12n + 1; 30n + 2) = d khi đó:

(12n + 1) ⋮ d và (30n + 2) ⋮ d

[5.(12n + 1)] ⋮ d và [2(30n + 2)] ⋮ d

[60n + 5] ⋮ d và [60n + 4] ⋮ d

[60n + 5 - 60n - 4] ⋮ d

[(60n - 60n) + (5 - 4)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

1 ⋮ d

d = 1

Phân số đã cho là phân số tối giản (đpcm)

Câu b:

B = \(\frac{2n+4}{14n+3}\) (n ∈ N)

Gọi ƯCLN(2n + 4; 14n+ 3) ⋮ d Khi đó:

(2n + 4) ⋮ d và (14n + 3) ⋮ d

(14n + 28) ⋮ d và (14n + 3) ⋮ d

[14n + 28 - 14n - 3] ⋮ d

[(14n - 14n) + (28 - 3)] ⋮ d

[0 + 25] ⋮ d

25 ⋮ d

Việc chứng minh phân số tối giản là không thể.