Cho mình xin lỗi là < 1 chứ không phải 11 đâu

 Ta xét A= \(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+..+\frac{1}{100^2}\)

\(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}>\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}...+\frac{1}{100.101}\)

=> \(A>\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)

=> \(A>\frac{1}{5}-\frac{1}{101}\)

=> \(A>\frac{96}{505}>\frac{96}{576}=\frac{1}{4}\)

Ta có : \(A< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{99.100}\)

=> \(A< \frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

=> \(A< \frac{1}{4}-\frac{1}{100}\)

=> \(A< \frac{6}{25}< \frac{6}{24}=\frac{1}{4}\)

dễ mà k đi

mai tớ cho bài này nhé quen bài này ở lớp zùi

A = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\)

\(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2}=\frac11-\frac12\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3}=\frac12-\frac13\)

....................................

\(\frac{1}{n^2}\) = \(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\) = \(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

cộng vế với vế ta có:

A = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\) < \(\frac11-\frac{1}{n}<1\) (đpcm)

a) Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{ab+ac}{b\left(b+c\right)}\)

                 \(\frac{a+c}{b+c}=\frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{ab+bc}{b\left(b+c\right)}\)

Vì 0<a<b nên ab+ac<ab+bc

\(\Rightarrow\frac{ab+ac}{b\left(b+c\right)}>\frac{ab+bc}{b\left(b+c\right)}\)

hay \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)

Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)

Bài 1:

a; Cho a/b < 1 và a; b; c ∈ N*

Ta có: \(\frac{a}{b}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b}\)

\(\frac{a+c}{b+c}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b+c}\)

Vì a;b; c ∈ N* và a < b nên

\(\frac{b-a}{b}\) > \(\frac{b-a}{b+c}\)

⇒ \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\) (Hai phân số phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn)

Vậy Cho a/b < 1 và a; b; c ∈ N* thì: \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\) (Đpcm)

Câu 3:

Để 15/7 và 35/19 nhân cùng với một phân số tự sẽ được một số tự nhiên thì tử số của phân số đó phải chia hết cho 7 và 19

7 = 7; 19 = 19. Mẫu số của phân số đó phải là Ước Chung lớn nhất của 15 và 35

BCNN(7; 19) = 7.19 = 133

Vì tử số là số tự nhiên nhỏ nhất nên nó phải là BCNN(7; 19) = 133

15 = 3.5; 35 = 5.7

ƯCLN(15; 35) = 5

Phân số cần tìm là: 133/5

Sửa đề : Chứng minh : S > 1

Ta thấy : \(\frac{5}{20}>\frac{5}{21}>\frac{5}{22}>\frac{5}{23}>\frac{5}{24}\)

\(\Rightarrow S=\frac{5}{20}+\frac{5}{21}+\frac{5}{22}+\frac{5}{23}+\frac{5}{24}>\frac{5}{24}\times5=\frac{25}{24}>1\)

Vậy S > 1 (ĐPCM)