chả có j mà ngồi cười như thật!

Đặt \(A=6^{2n+1}+5^{n+2}\)

Với n=0

=>\(A\left(0\right)=6^{2.0+1}+5^{0+2}=6+5^2=31\) chia hết cho 31

Giả sử n=k thì A sẽ chia hết cho 31

=>\(A\left(k\right)=6^{2k+1}+5^{k+2}\) chia hết cho 31

Chứng minh n=k+1 cũng chia hết cho 31 hay \(A\left(k+1\right)=6^{2\left(k+1\right)+1}+5^{\left(k+1\right)+2}\) chia hết cho 31

 thật vậy

\(A\left(k+1\right)=6^{2k+3}+5^{k+3}=6^{2k+1}.36+5^{k+2}.5\)

\(=5\left(6^{2k+1}+5^{k+2}\right)+3.6^{2k+1}\)

Theo giả thiết ta có

\(6^{2k+1}+5^{k+2}\) chia hết cho 31

=>\(5\left(6^{2k+1}+5^{k+2}\right)\) chia hết cho 31

mà\(31.6^{2k+1}\) chia hết cho 31

=>\(5\left(6^{2k+1}+5^{k+2}\right)+31.6^{2k+1}\) chia hết cho 31

Hay \(A\left(k+1\right)\) chia hết cho 31

Vậy \(^{6^{2n+1}+5^{n+2}}\) chia hết cho 31

Gọi cái cần chứng minh là ^(*)

+) Với n = 1 thì ^(*) = 4 + 15 - 1 = 18 chia hết cho 9

+) Giả sử ^(*) đúng với n = k => 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9 thì ta cần chứng minh ^(*) luôn đúng với k + 1 tức 4^{k + 1} + 15(k + 1) - 1 chia hết cho 9

Thật vậy:

4^{k + 1} + 15(k + 1) - 1

= 4.4^k + 15k + 15 - 1

= 4.4^k + 15k + 18 - 4 - 45k

= 4.(4^k + 15k - 1) - 45k - 18

Vì 4.(4^k + 15k - 1) chia hết cho 9; 45k chia hết cho 9 và 18 cũng chia hết cho 9

=> 4.(4^k + 15k - 1) - 45k - 18 chia hết cho 9 

hay 4^{k + 1} + 15(k + 1) - 1 chia hết cho 9

=> Phương pháp quy nạp được chứng minh

Vậy 4ⁿ + 15n - 1 chia hết cho 9 với mọi n thuộc N*

chứng minh mà ghi kết quả

bài này áp dụng phương pháp quy nạp 2 lần. 
................................. 
chọn n=1 => 10+18-1=27 chia hết cho 27 (luôn đúng) 
giả sử với mọi n=k (k thuộc N*) thì ta luôn có 10^k+18k-1 chia hết cho 27. 
Cần chứng minh với n=k+1 thì 10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27. 
Ta có 10^(k+1)+18(k+1)-1= 10*10^k+18k+18-1 
= (10^k+18k-1)+9*10^k+18 
= (10^k+18k-1)+9(10^k+2) 
ta có: (10^k+18k-1) chia hết cho 27 => 10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27 khi và chỉ khi 9(10^k+2) chia hết cho 27. 

Chứng minh 9(10^k+2) chia hết cho 27. 
chọn k=1 => 9(10+2)=108 chia hết cho 27(luôn đúng) 
giả sử k=m(với m thuộc N*) ta luôn có 9(10^m+2) chia hết cho 27. 
ta cần chứng minh với mọi k= m+1 ta có 9(10^(m+1)+2) chia hết cho 27. 
thật vậy ta có: 9(10^(m+1)+2)= 9( 10*10^m+2)= 9( 10^m+9*10^m+2) 
= 9(10^m+2) +81*10^m 
ta có 9(10^m+2) chia hết cho 27 và 81*10^m chia hết cho 27 => 9(10^(m+1)+2) chia hết cho 27 
=>9(10^k+2) chia hết cho 27 
=>10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27 
=>10^n+18n-1 chia hết cho 27=> đpcm

+ Với n =1

  => 7¹⁺² +8^2.1+1 = 7³ +8³ = 855 =57.15 chia hết cho 57

+ Giải sử Đúng với n =k

 => 7^k+2 + 8^2k+1  chia hết cho 57      (1)

+ Ta chứng minh Đúng với n =k +1

  => 7ⁿ⁺² +8²ⁿ⁺¹ = 7^k+1+2 +8^2(k+1)+1 = 7. 7^k+2 + 8² . 8^2k+1 = 7( 7^k+2 + 8^2k+1 ) + 57.8^2k+1 

  Mà theo (1) ;  7^k+2 + 8^2k+1  chia hết cho 57 ;  57.8^2k+1  chia hết cho 57

=>  7ⁿ⁺² +8²ⁿ⁺¹  chia hết cho 57

3,

b, Có : abcd = 100ab + cd

= 100.2.cd + cd

= 200cd + cd

= ( 200 + 1 ). cd

= 201. cd

= 3.67 + cd

suy ra abcd chia hết cho 67.

a, Có : abc = abc0

abc0 = 1000a + bc0

= 999a + a + bc0

= 999a + bca

= 27.37a + bca

Có : abc chia hết cho 27 suy ra abc0 chia hết cho 27

suy ra 27. 37a + bca chia hết cho 27

suy ra bca chia hết cho 27.