Vì \(b\in P;b\ne3\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b\text{≡}2\left(mod3\right)\\b\text{≡}1\left(mod3\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b^2\text{≡}4\text{≡}1\left(mod3\right)\\b^2\text{≡}1^2\text{≡}1\left(mod3\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow b^2\text{≡}1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow1993b^2\text{≡}1993\text{≡}1\left(mod3\right)\)

Lại có \(3x\text{≡}0\left(mod3\right)\)

\(2\text{≡}2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow A=3x+2+1993b^2\text{≡}0+2+1\text{≡}3\text{≡}0\left(mod3\right)\)

\(x\in N;b>1\Rightarrow A>0+2+1993.2^2>3\)

\(\Rightarrow\)A là hợp số

Vậy ...

b nguyên tố khác 3

áp dụng t/c "bình phương số lẻ luôn có dạng 3k+1" ta có:

nếu b =2 số chắn duy nhất A=3x+2+1993.4 chia hết cho 3

b^2=3k+1 

A=3x+2+1993(3k+1)=3x+1993.3k+3 luôn chia hết cho 3 với mọi x tự nhiên => dpcm

bt trên sẽ là  (a⁴ⁿ)² + 3 . a⁴ⁿ  - 4 = (a⁴ⁿ)² + 4. a⁴ⁿ - a⁴ⁿ -4 = ( a⁴ⁿ + 4)(a⁴ⁿ -1)

mặt khác vì a là số tự nhiên , a không chia hết cho 5

=> a⁴ⁿ = (a²ⁿ)²  là số chính phương chia 5 dư 1 hoặc 4 (vì scp chia 5 dư 0,1,4 - bạn có thể chứng minh = cách xét 1 số x nào đó có số dư cho 5 là 0,1,2,3,4 , đăt dạng của nó (VD như 5k+1 chẳng hạn ) rồi bp lên đc scp của nó để tìm số dư của scp đó cho 5 theo cách tổng quát nhất)

 nếu a⁴ⁿ chia 5 dư 1 => a⁴ⁿ -1 chia hết cho 5 => bt chia hết cho 5

nếu a⁴ⁿ chia 5 dư 4 => a⁴ⁿ -4 chia hết cho 5 => bt chia hết cho 5

 Vậy bt trên chia hết cho 5

chua chac tan cung la cac so do da la so chinh phuong

Giả sử E là số tự nhiên

Biến đổi E ta có :

\(E=\frac{3n^2}{2n^2+n-1}+\frac{1}{n+1}=\frac{3n^2}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}+\frac{2n-1}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}=\frac{3n^2+2n-1}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(3n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}=\frac{3n-1}{2n-1}\)

Do E là số tự nhiên \(\Rightarrow\left(3n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(3n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\Rightarrow\left[2\left(3n-1\right)-3\left(2n-1\right)\right]⋮2n-1\)

\(\Leftrightarrow\left(6n-2-6n+3\right)⋮\left(2n-1\right)\Leftrightarrow1⋮\left(2n-1\right)\)

\(\Rightarrow2n-1\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

Xét \(2n-1=1\Rightarrow n=1\left(KTM:n>1;\text{loại}\right)\)

Xét \(2n-1=-1\Rightarrow n=0\left(KTM:n>1;\text{loại}\right)\)

Vậy ko có số tự nhiên n > 1 nào để \(\left(3n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\) hay 3n - 1 ko chia hết cho 2n - 1

=> điều giả sử là sai hay E ko thể là số tự nhiên (đpcm)

Ta có :

\(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{2\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}\)

\(=2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\)

Vậy : \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{2}-1\right)+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+....+2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\left(đpcm\right)\)