Bài 1: ( sai đề. mình sửa lại là chia hết cho 31)

Ta có:

\(A=1+5+5^2+...+5^{2013}\)

\(A=\left(1+5+5^2\right)+\left(5^3+5^4+5^5\right)+...+\left(5^{2011}+5^{2012}+5^{2013}\right)\)

\(A=5^0\cdot\left(1+5+5^2\right)+5^3\cdot\left(1+5+5^2\right)+...+5^{2011}\cdot\left(1+5+5^2\right)\)

\(A=5^0\cdot31+5^3\cdot31+...+5^{2011}\cdot31\)

\(A=31\cdot\left(5^0+5^3+...+5^{2011}\right)\)

Vì \(31⋮31\)

\(\Rightarrow31\cdot\left(5^0+5^3+...+5^{2011}\right)⋮31\)

hay\(A⋮31\) (đpcm)

Này đề là chia hết cho 13 sao lại làm chia hết cho 31 cô mình ra bài này mà

Bài1

Bài2

1) Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.

=> Gọi n, n+1, n+2( n \(\in\) \(N\)) là 3 số tự nhiên liên tiếp

- Trong hai số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chẵn nên:

n.( n+1). ( n+2) \(⋮\)2.

- Trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có một thừa số \(⋮\) 3.

Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Suy ra: n.(n+1).(n+2) \(⋮\) 2 . 3 = 6(đpcm).

2) Chứng tỏ: 3ⁿ⁺³ + 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺² chia hêt cho 6.

=> 3ⁿ⁺³ + 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺²

= 3ⁿ. 3³ + 3ⁿ . 3 + 2ⁿ . 2³ + 2ⁿ . 2²

= 3ⁿ. (27+3) + 2ⁿ . ( 8+4)

= 6. ( 3ⁿ . 5 + 2ⁿ . 2)

= 6k với k = 3ⁿ . 5 + 2ⁿ⁺¹

Mà 6k \(⋮\) 6 => ( 3ⁿ⁺³ + 3ⁿ⁺¹+ 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺²) \(⋮\) 6(đpcm).

3) a) ( 6¹⁰⁰ - 1) \(⋮\) 5

b) 21²⁰ - 11¹⁰ chia hết cho cả 2 và 5

a) ( 6¹⁰⁰ - 1) \(⋮\)5

=> Số 6¹⁰⁰ có chữ số tận cùng là 6.

Nên 6¹⁰⁰ - 1 là số có chữ số tận cùng là 5( 6-1=5)

=> ( 6¹⁰⁰ - 1) \(⋮\)5(đpcm).

b) 21²⁰ - 11¹⁰ chia hết cho cả 2 và 5.

=> Số 21²⁰ có chữ số tận cùng là 1.

Số 11¹⁰ có chữ số tận cùng cũng là 1.

Nên 21²⁰ - 11¹⁰ là số có chữ số tận cùng là 0.

=> 21²⁰ - 11¹⁰ chia hết cho 2 và 5(đpcm).

4) Chứng minh rằng:

a) ( 450+108+180) \(⋮\)9

b) ( 1350 +735+255) \(⋮\)5

c) ( 32624+2016) \(⋮\)4

a) ( 450+108+180) \(⋮\)9

=> Vì 450 \(⋮\) 9; 108 \(⋮\) 9; 180 \(⋮\)9

Nên ( 450+108+180) \(⋮\)9.

b) ( 1350+735+255) \(⋮\)5

=> Vì 1350 \(⋮\) 5; 735 \(⋮\)5; 255 \(⋮\)5

Nên ( 1350+735+255) \(⋮\)5.

c) ( 32624 + 2016) \(⋮\) 4

=> Vì 32624 \(⋮\)4; 2016 \(⋮\)4

Nên ( 32624 + 2016) \(⋮\)4.

Đây là câu trả lời của mình, mình chúc bạn học tốt!

uk

a) P=2+2²+2³+2⁴+...+2⁶⁰ \(⋮\) 21 và 15

\(\Rightarrow\)P = 2²+2³+2⁴+2⁵+...+2⁶¹  

\(\Rightarrow\) (2P - P) = 2⁶¹ - 2

\(\Rightarrow\) P = 2⁶¹ - 2 = 2.(2⁶⁰ - 1)

Để P \(⋮\) 21 và 15 thì (2⁶⁰ - 1) \(⋮\)21 và 15

tức là (2⁶⁰ - 1) \(⋮\)3; 5; 7

*Ta có 2⁶⁰ - 1 = (2⁴)¹⁵ = 16¹⁵ - 1

          = (16 - 1).(1+16+16²+16³+...+16¹⁴)

          = 15.(1+16+16²+16³+...+16¹⁴) \(⋮\) 15  

Vậy  P \(⋮\) 15  (1)

    * Ta có 2⁶⁰ - 1 = (2⁶)¹⁰ - 1 = 64¹⁰ - 1

                = (64 - 1).(1+64+64²+64³+...+64⁹ )

                = 63 \(⋮\) (1+64+64²+64³+...+64⁹ )

                = 21.3.(1+64+64²+64³+...+64⁹ ) \(⋮\) 21

         P \(⋮\)21   (2) 

    Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)  P \(⋮\)15 và 21