Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\left(x-8\right)^2+2005\)
Ta có: \(\left(x-8\right)^2\ge0\forall x\in Z\)
\(\Rightarrow\left(x-8\right)^2+2005\ge2005\forall x\in Z\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(\left(x-8\right)^2=0\Leftrightarrow x-8=0\Leftrightarrow x=8\)
Vậy: giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left(x-8\right)^2+2005\) là 2005 khi x=8
\(B=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+3\)
Ta có: \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\in Z\)
\(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\in Z\)
Do đó: \(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\in Z\)
\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+3\ge3\forall x,y\in Z\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+3\) là 3 khi x=2 và y=1
\(C=\left|x-5\right|+\left(x-y\right)^2+10\)
Ta có: \(\left|x-5\right|\ge0\forall x\in Z\)
\(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\in Z\)
Do đó: \(\left|x-5\right|+\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\in Z\)
⇒\(\left|x-5\right|+\left(x-y\right)^2+10\ge10\forall x,y\in Z\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-5\right|=0\\\left(x-y\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-5=0\\x-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\5-y=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=5\end{matrix}\right.\)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C=\left|x-5\right|+\left(x-y\right)^2+10\) là 10 khi x=5 và y=5
\(D=\left|x-2\right|+\left|y+5\right|-10\)
Ta có: \(\left|x-2\right|\ge0\forall x\in Z\)
\(\left|y+5\right|\ge0\forall y\in Z\)
Do đó: \(\left|x-2\right|+\left|y+5\right|\ge0\forall x,y\in Z\)
\(\Rightarrow\left|x-2\right|+\left|y+5\right|-10\ge-10\forall x,y\in Z\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-2\right|=0\\\left|y+5\right|=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-5\end{matrix}\right.\)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(D=\left|x-2\right|+\left|y+5\right|-10\) là -10 khi x=2 và y=-5
Ta có : \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) \(\Rightarrow xy+2\sqrt{xy}\le8\) hay \(\left(\sqrt{xy}+1\right)^2\le9\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+1\le3\Rightarrow xy\le4\)
Ta có : \(\left(9-xy\right)^2=\left(x+y+1\right)^2=x^2+y^2+1+2\left(x+y+xy\right)=x^2+y^2+17\)
Vì \(xy\le4\Rightarrow9-xy\ge5\Rightarrow\left(9-xy\right)^2\ge25\Leftrightarrow x^2+y^2+17\ge25\)
\(\Rightarrow A\ge8\) . Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2
Vậy Min A = 8 tại x = y = 2
Ta có:
\(x^2+y^2=\)
\(=\frac{1}{3}\left(x^2+4+y^2+4\right)+\frac{2}{3}\left(x^2+y^2\right)-\frac{8}{3}\)
\(\ge\frac{4}{3}\left(x+y+xy\right)-\frac{8}{3}=8\)
\(\Rightarrow P\ge8\)
Dấu = khi \(x=y=2\)
Vậy MinP=8 khi x=y=2
\(x^{2013}+x^{2013}+1+1+...+1\ge2011\sqrt[2013]{x^{2013}.x^{2013}}=2011.x^2\) (2011 số 1)
Tương tự: \(2y^{2013}+2011\ge2013y^2\) ; \(2z^{2013}+2011\ge2013z^2\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}\right)+6033\ge2013\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le3\)
\(M_{max}=3\) khi \(x=y=z=1\)
a: \(A=77^2+77\cdot22+77=7700\)
b: \(B=2\cdot\left(1.007+0.006\right)+2\left(-0.006-1.007\right)\)
\(=0\)
c: \(C=\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)
\(=\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2=\left(3-1\right)\cdot\left(3-2\right)^2=2\)
d: \(D=\left(-5\right)^2\cdot2-2+\left(-5\right)\cdot2^2+5\)
\(=25\cdot2-2-5\cdot4+5\)
=50-2-20+5
=55-22=33
ta có
\(y=2x+\frac{1}{x^2}-2\)
hay \(y=x+x+\frac{1}{x^2}-2\ge3\sqrt[3]{\frac{x.x.1}{x^2}}-2=3-2=1\)
vậy giá trị nhỏ nhất của y là 1
Dấu bằng xảy ra khi \(x=\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu:
\(1728=(3x+3y)(2x+2z)(2y+2z)\leq \left(\frac{5x+5y+4z}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow 5x+5y+4z\geq 36\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(18P=(5x^2+5y^2+2z^2)(5+5+8)\geq (5x+5y+4z)^2\geq 36^2\)
\(\Rightarrow P\geq 72\)
Vậy \(P_{\min}=72\Leftrightarrow (x,y,z)=(2,2,4)\)
À, rồi, hiểu ý bạn. Tức là bạn muốn CM với \(x,y,z\in\mathbb{R}\), không cần đk dương đúng không. Hôm qua thấy Thắng cmt nên chột dạ cho luôn \(x,y,z>0\)
Lời giải:
BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ngược dấu với hai số vẫn luôn đúng cho trường hợp số thực: \(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0\) \(\forall x,y\in\mathbb{R}\)
Giờ ghép cặp thôi:
\((3x+3y)(2x+2z)\leq \left(\frac{5x+3y+2z}{2}\right)^2\)
\((3x+3y)(2y+2z)\leq \left(\frac{5y+3x+2z}{2}\right)^2\)
\((x+z)(y+z)\leq \left(\frac{x+y+2z}{2}\right)^2\)
Bất kể vế trái có thừa số âm thừa số dương nhưng vì tích của \((x+y)(y+z)(z+x)>0\) nên khi nhân theo vế dấu không bị đổi, thu được:
\(47775744\leq (5x+3y+2z)^2(5y+3x+2z)^2(x+y+2z)^2\)
\(\leq \left(\frac{8x+8y+4z}{2}\right)^4(x+y+2z)^2\Rightarrow 2985984\leq (2x+2y+z)^4(x+y+2z)^2\)
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
\((x^2+y^2+z^2)\geq \frac{(x+y+2z)^2}{6}\)
\(4x^2+4y^2+z^2\geq \frac{(2x+2y+z)^2}{3}\)
Giờ thì tất cả đều dương rồi. AM-GM ba số:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(x+y+2z)^2}{6}+\frac{(2x+2y+z)^2}{6}+\frac{2x+2y+z)^2}{6}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y+2z)^2(2x+2y+z)^4}{6^3}}\geq 72\)
Bạn xem lại đề bài xem có sai sót hay thiếu điều kiện gì không?
đề 5(x2 + y2) + 2z2
bn nghĩ sao về GTNN=72 khi x=y=z-2=2
ta có thể sử dụng lagrange?
g/s: cái đề 5(x^2+y^2)+2y^2 --> chuyện gì xẩy ra.
X,y,z mk đều chưa biết dấu sao có thể áp dung bất đẳng thức am-gm
X,y,z mk đều chưa biết dấu sao có thể áp dung bất đẳng thức am-gm
kMk đang học lớp 10 ko thể dùng lagrange dc bạn a
ngonhuminh:thì z ở gt bị thừa ->nát đề
ồ thank
Chưa học Lagrange thì xin làm 1 cách khác vậy cho khỏi mang danh spam to miệng
Giải
Để \(\left\{\begin{matrix}x=y=2\\z=4\end{matrix}\right.\) khi đó ta được \(P_{min}=72\) và tất nhiên cần chứng minh nó
Thật vậy, ta cần chứng minh
\(5(x^2+y^2)+2z^2\geq72\left(\sqrt[3]{\frac{(x+y)(x+z)(y+z)}{144}}\right)^2\)
Suy ra bất đẳng thức cuối đúng cho các biến không âm
Đặt \(x+y=tz\). Khi đó \(x^2+y^2\geq\frac{1}{2}(x+y)^2\) và \((x+z)(y+z)\leq\frac{1}{2}(x+y+2z)^2\)
Vậy còn phải chứng minh \(\frac{5}{2}t^2+2\geq72\left(\sqrt[3]{\frac{\frac{t(t+2)^2}{4}}{144}}\right)^2\)
Hay \((5t^2+4)^3\geq9t^2(t+2)^4\)
Áp dụng BĐT C-S và AM-GM ta có:
\((5t^2+4)^3=\left(\frac{(5+4)(5t^2+4)}{9}\right)^3\geq\left(\frac{(5t+4)^2}{9}\right)^3\)
\(=\left(\frac{(3t+2(t+2))^2}{9}\right)^3\geq\left(\frac{\left(3\sqrt[3]{3t\cdot(t+2)^2}\right)^2}{9}\right)^3=9t^2(t+2)^4\geq0\) (đúng)
Vẫn còn một số chỗ mk chưa hiểu
Suy ra bdt cuối đung cho các số khong âm là sao. Là bdt nào và gt kĩ là sao lại ko âm hộ mk dc k
Trái Tim Hoá Đá:thì các biến ko âm thì nó đúng và là nền tảng cho sự áp dụng AM-GM and C-s ở dưới
Vẫn ko hiểu
Bạn có thể làm bài này một cách ngược lai được không. Cảm ơn nha
Trái Tim Hoá Đá:ngược lại nghe liêu trai quá vậy
Liêu trai???bạn có thể cm cho p >= 72 vs cách đi ngược lại. Tức là xphat từ gt ấy. Còn cách vừa rồi của ban, ban xp từ việc dự đoán điểm rơi sau đó mới có thể đưa ra là các biến ko âm . Biết đâu vẫn sẽ có gt âm nào đó lm p đạt gt min thì sao
Nếu như có thể bạn hãy đi theo cách bạn bên trên nhưng giả thik cho mk tại sao bạn ây lại dùng am-gm cho (3x+3y) (2x+2z) (2y+2z) mà chưa biết dấu của chúng
Trái Tim Hoá Đá:v thì ms cần tư duy
Cách đó thì mk cug nghĩ ra r. Chỉ là hơi vướng mác chỗ đó nên ms hỏi mn thôi
thôi thua bn :v
Đồng ý thắc mắc của trái tim hóa đá ---->