By Titu's Lemma we easy have:

\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{17}{4}\)

Mk xin b2 nha!

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

Mik ms làm lần đâu sai thì thôi nha :

 Để P nhỏ nhất thì 

 \(y^2+z^2+z^2+x^2+y^2+x^2\)

\(=\left(y^2+x^2+z^2\right)+z^2+x^2+y^2\)

\(=1+x^2+y^2+z^2\ge1\)

b làm rõ hơn đc ko

ta có \(\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}+\frac{9}{3z}=6\)

Mà \(\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}+\frac{9}{3z}\ge\frac{36}{x+2y+3z}\Rightarrow6\ge\frac{36}{x+2y+3z}\Rightarrow x+2y+3z\ge6\)

MÀ \(y^2+1\ge2y;z^3+1+1\ge3z\)

=> A+3\(\ge\left(x+2y+3z\right)=6\) => A>=3

dấu = xảy ra <=> x=y=z

P=20/(xy)^2

nhỏ nhất khi !xy! x,y>0=> xy lớn nhất

x^2+y^2>=2xy=> xy<=10 đẳng thức khi x=y=\(\sqrt{10}\)

Pmin=20/10=1/5 

P=20/(xy)^2

nhỏ nhất khi !xy! x,y>0=> xy lớn nhất

x^2+y^2>=2xy=> xy<=10 đẳng thức khi x=y=\(\sqrt[]{10}\)

Pmin=20/10=1/5

:3

Chứng minh BĐT phụ:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Giờ thì chứng minh thôi:3

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel ta có:

\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}\)

\(=8\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Bài này bạn làm đúng rồi nhưng mà bạn bị nhầm phép tính: \(\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}=18\)

=> Min P=18

\(A=\frac{x^2+4y^2-3y^2}{xy}\ge\frac{2\sqrt{x^2.4y^2}}{xy}-\frac{3y}{x}\)

do x lớn hơn bằng 2y nên \(-\frac{3y}{x}\ge-\frac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=2y

Ta có : \(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{3}{2xy}\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)được :\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\)được : \(\frac{3}{2xy}\ge\frac{3}{2}.\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge6\)

Suy ra \(P\ge10\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x=y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy Min P = 10 khi x = y = 1/2

Suy ra P≥10

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi {

⇔x=y=12 

Vậy Min P = 10 khi x = y = 1/2