Answer:

3.

\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)

\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)

\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)

Đặt \(x^2=a;y^2=b\left(a,b\ge0\right)\)
Ta có

\(x^6+y^6=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^2-ab+b^2\)

\(\ge a^2-\frac{a^2+b^2}{2}+b^2=\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

Vậy Min = 1/4 khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Ta có

+)\(x^2+y^2=1\leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=1\)

+) Đặt x+y=S, xy = P, ta được: \(S^2-2P=1\)
+)\(x^6+y^6=\left(x^2+y^2\right)\left(x^4-x^2y^2+y^4\right)=x^4-x^2y^2+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2\)

\(=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-3x^2y^2=\left(S^2-2P\right)^2-3P^2=S^4-4S^2P+4P^2-3P^2\)

\(=S^4-4S^2P+P^2=\left(2P+1\right)^2-4\left(2P+1\right)P+P^2\)

\(=4P^2+4P+1-8P^2-4P+P^2=-3P^2+1\le1\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}P=0\\S=1\end{cases}}\), khi đó x=1, y=0 hoặc x=0, y=1

Bằng không

Câu trả lời đúng là 2 nhưng ko biết tại sao

ta có:

1) ta có : \(x^2+5y^2-4xy+2y=3\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2=2-\left(y+1\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow2\ge\left(y+1\right)^2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le y+1\le\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}-1\le y\le\sqrt{2}-1\)

ta lại có : \(\left(y+1\right)^2=2-\left(x-2y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\ge\left(x-2y\right)^2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x-2y\le\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}+2y\le x\le\sqrt{2}+2y\Leftrightarrow-2-3\sqrt{2}\le x\le-2+3\sqrt{2}\)

vậy \(x_{max}=-2+3\sqrt{2}\)

dâu "=" xảy ra khi \(y=\sqrt{2}-1\)

câu 3 : ta có : \(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Leftrightarrow y^2=-\left(x+y\right)^2-7\left(x+y\right)-10\ge0\)

\(\Leftrightarrow-5\le x+y\le-2\)

\(\Rightarrow S_{max}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}y^2=0\\x+y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=0;x=-2\)

\(S_{min}=-5\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}y^2=0\\x+y=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=0;x=-5\)

bài này có trong đề thi hsg trường mk :)