Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
- Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
\left(x.\frac{1}{2}+x.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+x.\sqrt{1-x^2}+y.\sqrt{1-x^2}\right)^2\le(x.21+x.21+y.21+y.21+x.1−x2+y.1−x2)2≤
\left(x^2+x^2+y^2+y^2+x^2+y^2\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1-x^2+1-y^2\right)(x2+x2+y2+y2+x2+y2)(41+41+41+41+1−x2+1−y2)
tức là \left(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(3x^2+3y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)(x+y+x1−y2+y1−x2)2≤(3x2+3y2)(3−x2−y2)
Suy ra x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\sqrt{3}.\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)}x+y+x1−y2+y1−x2≤3.(x2+y2)(3−x2−y2)
\le\sqrt{3}.\frac{\left(x^2+y^2\right)+\left(3-x^2-y^2\right)}{2}≤3.2(x2+y2)+(3−x2−y2)
hay x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}x+y+x1−y2+y1−x2≤233 (đpcm)
Viết lại điều kiện đã cho dưới dạng
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6ab1+bc1+ca1+a1+b1+c1=6
Áp dụng bất đẳng thức hiển nhiên xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2xy+yz+zx≤x2+y2+z2 ta có
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}ab1+bc1+ca1≤a21+b21+c21 (1)
Lại áp dụng x\le\frac{x^2+1}{2}x≤2x2+1, ta có \frac{1}{a}\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{a^2}\right)a1≤21(1+a21), do đó
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}a1+b1+c1≤21(a21+b21+c21)+23 (2)
Cộng theo vế (1), (2) và chú ý đến điều kiện ta được
6\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}6≤23(a21+b21+c21)+23
Suy ra 3\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}3≤a21+b21+c21 (đpcm)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{z}\frac{z}{4}}=|x-1|=1-x.\)
\(\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(y-1\right)^2}{x}\frac{x}{4}}=|y-1|=1-y.\)
\(\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\frac{y}{4}}=|z-1|=1-z.\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge1-x+1-y+1-z.\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge3-\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{4}=3-2-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.\)
Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}.\)
1. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz và x,y,z>1
Tìm GTNN của P= x-1/y2 +y-1/x2 + x-1/x2
Giải
Từ gt⇒1xy+1yz+1zx=1⇒1xy+1yz+1zx=1
Theo AM-GM ta có:
P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥√3∑1xy+∑1xy−2=√3−1P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥3∑1xy+∑1xy−2=3−1
Dấu = xảy ra⇔x=y=z=1√3
P/S: ĐỀ BÀI TƯƠNG TỰ NÊN BẠN TỰ LÀM NHA !! CHÚC HOK TỐT!
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
áp dụng AM-GM sai 1 cách trầm trọng
phải z: \(\frac{1}{x}+x+\frac{1}{y}+y\ge4\sqrt[4]{\frac{x}{x}\cdot\frac{y}{y}}=4\)
=> Min p = 1
An Võ (leo) ok fine :) thanks nhiều cho cái dạng tổng quát được k
An Võ (leo) mà s sd Bunhiacopxki thì \(Min_P=\frac{4}{3}\)?????????
cái dụ sd BCS thì ko rõ
công thứ : \(a+b\ge2\sqrt{ab};a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\ ;a+b+c+d\ge4\sqrt[4]{abcd}...;a+b+c+...+n\ge\left(ssh\right)\sqrt[ssh]{abc...n}\)
ssh = số số hạng
Trần Thùy Linh chịu, tui mới lớp 9, đã học BĐT đâu =)) mà cái Bunhiacopxki là dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\) mà
đó là xảy ra khi \(\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\)>...<
à mà x=1, y=2
=> \(\frac{1}{1}=\frac{2}{2}\)vẫn được mà T.T
@Hùng Nguyễn
ơ kìa , minP =3/2 chứ bằng 4/3 đâu ra
Trần Thùy Linh chịu mấy cái BĐT mà tui áp dụng đúng CT mà
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) và dấu ''='' xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
Trần Thùy Linh bấm điểm rơi nó ra \(Min=\frac{4}{3};x=1,5\) :vvvvvvvvvv
nhưng nó áp dụng với đề bài chỉ cho số thực dương thôi
còn đề này cho cả điều kiện của biến nữa :>>
Điểm rơi x=1, y=2
Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có
\(P=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}-\frac{3}{y}\ge\frac{9}{x+y}-\frac{3}{y}\)\(\ge\frac{9}{3}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=1,y=2
Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=1,y=2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=1 , y=2
Không phải \(x=y=\frac{3}{2}\)
Thế nên không dùng thế được đâu ạ :)))
Cho mình nhắc trc, cái này mình cũng k chắc nha chủ tus :)))
___________________________________________________
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{3}\)
\(Min_P=\frac{4}{3}\)
______________________________________________
Nguyễn Việt Lâm cái này dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{3}{2}\) nhưng mà nó đâu có thõa ĐK đâu a :vv Với lại a có cách sử dụng AM-GM k a? E sử dụng AM-GM thì nó ra thế này
\(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x}+x+\frac{1}{y}+y-3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+x+\frac{1}{y}+y\ge2\sqrt{\frac{1x}{x}.\frac{1y}{y}}=2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+x+\frac{1}{y}+y-3\ge-1\Rightarrow Min_P=-1\)