Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{3}{2}x^2+y^2+z^2+yz=1\Leftrightarrow3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)
Suy ra : \(A^2\le2\Rightarrow A\le\sqrt{2}\)
Vậy Max A = \(\sqrt{2}\) khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x=z\\x+y+z=\sqrt{2}\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Ta có:\(P=x^3\left(z-y^2\right)+y^3x-y^3z^2+z^3y-z^3x^2+x^2y^2z^2-xyz\)
\(\Rightarrow P=x^3\left(z-y^2\right)+x^2y^2z^2-x^2z^3-\left(y^3z^2-z^3y\right)+y^3x-xyz\)
\(\Rightarrow P=x^3\left(z-y^2\right)+x^2z^2\left(y^2-z\right)-yz^2\left(y^2-z\right)+xy\left(y^2-z\right)\)
\(\Rightarrow P=\left(y^2-z\right)\left(x^2z^2-x^3-yz^2+xy\right)\)
\(\Rightarrow P=\left(y^2-z\right)\left(x^2z^2-x^3+xy-yz^2\right)\)
\(\Rightarrow P=\left(y^2-z\right)\left(x^2\left(z^2-x\right)+y\left(x-z^2\right)\right)\)
\(\Rightarrow P=\left(y^2-z\right)\left(x^2\left(z^2-x\right)-y\left(z^2-x\right)\right)\)
\(\Rightarrow P=\left(y^2-z\right)\left(z^2-x\right)\left(x^2-y\right)\)
\(\Rightarrow P=abc\)
Vì a, b, c là hằng số nên P có giá trị không phụ thuộc vào x, y, z
Ta có: \(M=2x^2+y^2-2xy+x\)
\(=x^2-2xy+y^2+x^2+x+\frac14-\frac14\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(x+\frac12\right)^2-\frac14>=-\frac14\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases}x-y=0\\ x+\frac12=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac12\\ y=x=-\frac12\end{cases}\)
B tự c/m BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)nhé.
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Áp dụng :
\(x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}.\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{1}{3}.\left[\frac{1}{3}.\left(x+y+z\right)^2\right]^2=\frac{1}{27}.\left(x+y+z\right)^4=\frac{1}{27}.2^4=\frac{16}{27}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
KL:...
vận dụng bất đẳng thức x^2+y^2+z^2 \(\ge\) (x+y+z)^2/3
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^4+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}\ge4.\sqrt[4]{x^4.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}}=\frac{32}{27}x\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x^4=\frac{16}{81}\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\)
Tương tự:
\(y^4+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}\ge4.\sqrt[4]{y^4.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}}=\frac{32}{27}y\)
\(z^4+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}\ge4.\sqrt[4]{z^4.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}.\frac{16}{81}}=\frac{32}{27}z\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow y^4=\frac{16}{81}\Leftrightarrow y=\frac{2}{3}\)
\(z^4=\frac{16}{81}\Leftrightarrow z=\frac{2}{3}\)
Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:
\(x^4+y^4+z^4+\frac{16}{81}.9\ge\frac{32}{27}\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge\frac{16}{27}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
Vậy Min \(x^4+y^4+z^4=\frac{16}{27}\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)