Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2, \(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}=\frac{x^2+y^2+z^2}{5}\)
<=>\(\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{5}\right)+\left(\frac{y^2}{3}-\frac{y^2}{5}\right)+\left(\frac{z^2}{4}-\frac{z^2}{5}\right)=0\)
<=>\(\frac{3}{10}x^2+\frac{2}{15}y^2+\frac{1}{20}z^2=0\)
<=>x=y=z=0
4,
a, \(\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1}\)
=>\(\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{ax^2+a+bx^2+cx}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(a+b\right)x^2+cx+a}{x\left(x^2+1\right)}\)
Đồng nhất 2 phân thức ta được:
\(\hept{\begin{cases}a+b=0\\c=0\\a=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=-1\\c=0\\a=1\end{cases}}}\)
b,a=1/4,b=-1/4
c, a=-1,b=1,c=1
1) \(21x^2+21y^2+z^2\)
\(=18\left(x^2+y^2\right)+z^2+3\left(x^2+y^2\right)\)
\(\ge9\left(x+y\right)^2+z^2+3.2xy\)
\(\ge2.3\left(x+y\right).z+6xy\)
\(=6\left(xy+yz+zx\right)=6.13=78\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y ; 3(x+y) = z; xy + yz + zx= 13 <=> x = y = 1; z= 6
2) \(x+y+z=3xyz\)
<=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3\)
Đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)=> ab + bc + ca = 3
Ta cần chứng minh: \(3a^2+b^2+3c^2\ge6\)
Ta có: \(3a^2+b^2+3c^2=\left(a^2+c^2\right)+2\left(a^2+c^2\right)+b^2\)
\(\ge2ac+\left(a+c\right)^2+b^2\ge2ac+2\left(a+c\right).b=2\left(ac+ab+bc\right)=6\)
Vậy: \(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = \(\sqrt{\frac{3}{5}}\); \(b=2\sqrt{\frac{3}{5}}\)
khi đó: \(x=z=\sqrt{\frac{5}{3}};y=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
Sai ở giả thiết.
Ta có:
\(x^2+y^2\ge2xy\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+y^2}\le\frac{xy}{2xy}=\frac{1}{2}\left(xy\ne0\right)\)
\(\Rightarrow\frac{5}{8}\le\frac{1}{2}\)( vô lý)
kudo shinichi nếu x,y trái dấu thì \(\frac{xy}{x^2+y^2}\ge\frac{xy}{2xy}\) mà
Đề thiếu x nguyên nhé bạn :)
\(x^2+10x+10=\left(x^2+10x+25\right)-15\)
Đặt \(x^2+10x+10=a^2\left(a\in Z\right)\)
Khi đó:\(\left(x+5\right)^2-a^2=15\)
\(\Leftrightarrow\left(x+5-a\right)\left(x+5+a\right)=15\)
Đến đây bạn lập ước ra ngay nhé ! Có điều hơi mệt tí,hihi !
sai rồi bạn. phải là \(a^2-\left(x+5\right)^2\)chứ
x/y+y/x=x^2+y^2/xy sử dụng bdt cosi =>x^2+y^2/xy+xy/x^2+y^2>=1
ta có: \(M=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{xy}\cdot\frac{xy}{x^2+y^2}}=2\cdot\sqrt{1}=2\cdot1=2.\)
(Ở đây mình áp dụng BĐT Cauchy: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)nhé!)
Học tốt! ^3^
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(1=\frac{3}{x}+\frac{2}{y}\ge2.\sqrt{\frac{6}{xy}}\)
\(\Leftrightarrow1^2\ge4.\frac{6}{xy}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\frac{24}{xy}\)
\(\Leftrightarrow xy\ge24\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{3}{x}=\frac{2}{y}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}}\)
Vậy \(xy_{min}=24\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}}\)
T nghĩ ra câu b rồi nhé Pain,bớt xạo lz!
b) Từ \(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=1\),ta có: \(x+y=1\left(x+y\right)=\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+y\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki,ta có: \(\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+y\right)\ge\left(\sqrt{\frac{3}{x}.x}+\sqrt{\frac{2}{y}.y}\right)\)
\(=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2=5+2\sqrt{6}\)
Vậy \(Min_{x+y}=5+2\sqrt{6}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3+\sqrt{6}\\y=2+\sqrt{6}\end{cases}}\)
\(1=\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{3y+2x}{xy}\)\(\Leftrightarrow\)\(xy=2x+3y\)
\(1=\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{6}{2x}+\frac{6}{3y}=6\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}\right)\ge\frac{6\left(1+1\right)^2}{2x+3y}=\frac{24}{2x+3y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x+3y\ge24\)
\(\Rightarrow\)\(xy=2x+3y\ge24\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{2x}=\frac{1}{3y}\)\(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{3y}{2}\)
\(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{3}{\frac{3y}{2}}+\frac{2}{y}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(y=4\)\(\Rightarrow\)\(x=\frac{3y}{2}=\frac{3.4}{2}=6\)
Tôi chỉ làm được câu a).Câu b) cần người giúp:
a) Bình phương hai vế của giả thiết:\(\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}\right)^2=1\Leftrightarrow\frac{9}{x^2}+\frac{12}{xy}+\frac{4}{y^2}=1\)
Áp dụng BĐT Cô si,ta có:
\(1=\left(\frac{9}{x^2}+\frac{4}{y^2}\right)+\frac{12}{xy}\ge2\sqrt{\frac{9.4}{x^2y^2}}+\frac{12}{xy}\)
\(=\frac{12}{xy}+\frac{12}{xy}=\frac{24}{xy}\)
Ta có: \(1\ge\frac{24}{xy}\Rightarrow xy\ge24\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{9}{x^2}=\frac{4}{y^2}\\\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3}{x}=\frac{2}{y}\\\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{x}=\frac{2}{y}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}}\)
\(3y+2x=1\)
\(2\left(x+y\right)=1-y\)
\(4\left(x+y\right)^2=\left(1-y\right)^2\)
\(4\left(x+y\right)^2=1^2-2y+y^2\)
\(\left(x+y\right)^2=\frac{\left(1+y^2\right)-2y}{4}\ge\frac{2y-2y}{4}=0\)
\(\left(\sqrt{\frac{3y}{x}}-\sqrt{\frac{2x}{y}}\right)^2\ge0\)
\(\frac{3y}{x}+\frac{2x}{y}\ge12\)
\(\left(\frac{3y}{x}+3\right)+\left(\frac{2x}{y}+2\right)\ge3+12+2\)
\(\frac{3}{x}\left(y+x\right)+\frac{2}{y}\left(x+y\right)\ge17\)
\(\left(x+y\right)\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge17\)
\(\left(x+y\right)\ge17\)
\(\left(\sqrt{\frac{3y}{x}}+\sqrt{\frac{2x}{y}}\right)^2\ge0.\)
\(\frac{3y}{x}+\frac{2x}{y}+5\ge2\sqrt{6}+5\)
\(\left(\frac{3y}{x}+3\right)+\left(\frac{2x}{y}+2\right)\ge2\sqrt{6}+5\)
\(\frac{3}{x}\left(y+x\right)+\frac{2}{y}\left(y+x\right)\ge2\sqrt{6}+5\)
\(\left(x+y\right).1\ge....\)
sửa lại dòng đầu thành
\(\left(\sqrt{\frac{3y}{x}}-\sqrt{\frac{2x}{y}}\right)^2\)
lên toan cococ í
earsy
ối, có người tự ra câu hỏi, tự trả lời