Biến đổi tương đương, do mọi hạng tử đều dương nên:

\(\frac{x^2+y^2+2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x^2+y^2+2\right)\ge2\left(x^2y^2+x^2+y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2+x^3y+xy^3+2xy=2x^2y^2+2x^2+2y^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3-2x^2y^2-\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng do \(xy\ge1\Rightarrow xy-1\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}xy=1\\x=y\end{matrix}\right.\)

a/ \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(2+x^2+y^2\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2+x^2+y^2+2xy+xy\left(x^2+y^2\right)\ge2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)-\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

b/ Để biểu thức xác định \(\Rightarrow x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\)

\(4=\frac{y^2}{4}+x^2+\frac{1}{x^2}+x^2\ge\frac{y^2}{4}+2\sqrt{\frac{x^2}{x^2}}+1\ge\frac{y^2}{4}+3\)

\(\Rightarrow\frac{y^2}{4}\le1\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2=0\\y^2=1\\y^2=4\end{matrix}\right.\)

\(y^2=0\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=4\Rightarrow2x^4-4x^2+1=0\) (ko tồn tại x nguyên tm)

\(y^2=1\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=3\Rightarrow2x^4-3x^2+1=0\Rightarrow x^2=1\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=...\)

\(y^2=4\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn

tks nha

1 ) Đề bài > not \(\ge\)

Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :

\(x^2+y^2+8>xy+2x+2y\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+16>2xy+4x+4y\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+8>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8>0\left(1\right)\)

Do \(\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8\ge8>0\forall x;y\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm

2 ) ĐK : a ; b ; c không âm

Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( cái này bạn áp dụng BĐT Cô - si để c/m ) , ta có :

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{6.2}=\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

3 ) Áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số không âm , ta có :

\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\left(1\right)\)

\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2+3\ge2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z+2xy+2xz+2yz\right)=2.6=12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)(đpcm)

Ta có vì : x,y > 0

và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Từ đề bài ta có:

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}.\left(x+y\right).xy\ge\frac{4}{x+y}.xy\left(x+y\right)\)

Áp dụng đẳng thức Cô-si:

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vậy....

đpcm.

Cái này biến đổi tương đương nhé, t có mỗi cách đó !

ta có BĐT cần chứng minh 

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)+\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\ge2\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)\)

\(\Leftrightarrow1+x^2+xy+x^3y+1+y^2+xy+y^3\ge2\left(1+x^2+y^2+x^2y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2xy+x^3y+xy^3-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)

bđt này luôn đúng với \(x,y\ge1\)

dấu = xảy ra <=> x=y >=1

^_^

chọn của vũ tiền châu nhé

nhớ đêý

cảm ơn 

t i c k nhé

kí tên hà ơi quá khắm :vvv

a)

Coi đây là pt bậc hai ẩn $y$. Để pt có nghiệm nguyên thì:

$\Delta'=x^2+3x+2=t^2$ với $t\in\mathbb{Z}$)

$\Rightarrow 4x^2+12x+8=4t^2$

$\Leftrightarrow (2x+3)^2-1=(2t)^2$

$\Leftrightarrow 1=(2x+3-2t)(2x+3+2t)$

Xét 2 TH sau:

TH1: $2x+3-2t=2x+3+2t=1$

$\Rightarrow x=-1; y=1$

TH2: $2x+3-2t=2x+3+2t=-1$

$\Rightarrow x=-2; y=2$

Vậy.......

b) Ta có:

\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2+2}{x^2+y^2+x^2y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)

\(\Leftrightarrow (x^2+y^2+2)(xy+1)\geq 2(x^2+y^2+x^2y^2+1)\)

\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2-2xy)-(x^2+y^2-2xy)\geq 0\)

$\Leftrightarrow (x-y)^2(xy-1)\geq 0$

Luôn đúng với mọi $xy\geq 1$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$ hoặc $xy=1$

*Áp dụng Cosi với x,y>0 ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\left(2\right)\)

Nhân (1),(2) có: \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\RightarrowĐPCM\)

**\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}+\frac{1}{x^2+y^2}\)

Ta có: \(\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}=4\)

Có: \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\le4\)

Theo Cosi ta có: \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\left(\frac{2}{x+y}\right)^2\ge\left(\frac{2}{1}\right)^2=4\)

Áp dụng Cosi ta có: \(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\left(\frac{x^2+2xy+y^2}{2}\right)^2=\frac{\left(x+y\right)^4}{4}\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{8}\)(1)

Mà ta có ở trên: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: \(x^2+y^2\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}\ge2\)

Vậy Ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4+4+2=10\)

Với x=y=1/2

quy đồng BĐT \(\frac{\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(xy+1\right)}\ge0\forall xy\ge1\)