Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Xét hiệu \((x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)-4=\left(1+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)-4\)
\(=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^2+y^2}{xy}-2=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy}\geq 0, \forall x,y>0\)
Do đó \((x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\geq 4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \((x-y)^2=0\Leftrightarrow x=y\)
a: Thiếu vế phải rồi bạn
b: \(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2>=0\)(luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(\dfrac{x^3}{x^2+y^2}=\dfrac{x\left(x^2+y^2\right)-xy^2}{x^2+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\dfrac{xy^2}{2xy}=x-\dfrac{y}{2}\)
BĐT đã cho tương đương với
\(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Vậy: BĐT cần c/m đúng
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
xét hiệu
\(\dfrac{x+y}{xy}-\dfrac{4}{\left(x+y\right)}\)
<=> \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}-\dfrac{4xy}{xy\left(x+y\right)}\)
<=> (x+y)2 -4xy
<=> x2+y2+2xy-4xy
<=> x2+y2-2xy
<=> (x-y)2 ≥ 0 (luôn đúng )
=> đpcm
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương a,b ta có \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2.\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=>\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}\)
suy ra \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\).Áp dụng vào bài toán ta có :\(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\ge\dfrac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\) (Do \(x+y\le1\))
PP : biến đổi tương đương
Bài làm
Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+x\right)}{xy\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)xy}\)
Vì x , y >0 , ta suy ra (x+y)2 \(\ge\)4xy
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
Hay (x-y)2 \(\ge\)0 ( điều này luôn đúng )
Vậy..........
còn gọi là phương pháp phản chứng
ĐÚng lớp 8 chưa được dùng cái này mà phải c/m nó thế mà bao nhiêu lời giải --> áp dụng như đúng rồi
thế mới gọi là pp biến đổi tương đương ! tôi ghi trên đầu bài làm còn j ?
phương pháp phản chứng là pp có cách làm kiểu như giả sử điều phải chứng minh sai , sau đó ta chứng minh cho nó vô lí với 1 giả thiết nào đó mà đề bài đã cho , sau đó suy ra dieu do ko the xay ra roi suy ra ket luan nguoc lai..........do đó , cach lam nay ko dc goi la phản chứng
Còn cách dùng BĐT AM-GM nữa:
Vì x2\(\ge\)0 và y2\(\ge\)0
=> Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
x2 + y2 \(\ge\)\(2\sqrt{x^2\cdot y^2}\)=\(2xy\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\ge2xy+2xy\)=\(4xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Chia cả 2 vế của BĐT cho \(xy\left(x+y\right)\) ta có:
\(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4xy}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)(đpcm)
đpcm\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(do x,y>0)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\)
Do \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)nên \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\forall x,y>0\)
giả sử \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)(1) là đúng.
suy ra
\(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\\ \Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\\ \Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng) (2)
vì BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng
hoặc dùng phương pháp xét hiệu hai vế cx dc
Ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{4}{x+y}=\dfrac{x+y}{xy}-\dfrac{4}{x+y}\)
\(=\dfrac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{x^2+2xy+y^2-4xy}{xy\left(x+y\right)}\) =
=\(\dfrac{x^2-2xy+y^2}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\)
mà \(\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\) với x, y >0
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{4}{x+y}\ge0\) với x, y >0
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với x, y >0
vậy \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với x, y >0
(tick nha
)
theo mk thì pp biến đổi tương đương lớp 8 hx rồi @ngonhuminh
Mỹ Duyên bạn không hiểu à
ý mình nói là cái \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
đối với lớp 8 là phải c/m bài Takishima Hotaru chuẩn đúng cách của lớp 8 luôn
Bạn không thầy một đống cái bài lớp 8 áp kết quả luôn ==> bản chất sai
uk