Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- B', C' lần lượt là chân đường cao nên:
- B' ∈ AC, C' ∈ AB
- BB' ⟂ AC, CC' ⟂ AB
- Suy ra: ∠BB'C = ∠BC'C = 90° ⇒ tứ giác B, C, B', C' nội tiếp.
Xét hai tam giác BPC' và CPB':
- ∠PBC' = ∠PBA (vì C' ∈ AB)
= ∠PCA (cùng chắn cung PA)
= ∠PCB' (vì B' ∈ AC)
⇒ ∠PBC' = ∠PCB'
- ∠PC'B = ∠PAB (vì C' ∈ AB)
= ∠PBA (cùng chắn cung PA)
= ∠PB'C (vì B' ∈ AC)
⇒ ∠PC'B = ∠PB'C
Suy ra: △BPC' ∼ △CPB' (g.g)
- Do △BPC' ∼ △CPB' ⇒ ∠BPC' = ∠CPB'
- PE, PF là các tia phân giác nên:
∠BPE = ∠CPF
Xét hai góc:
- ∠KEP = ∠AEP − ∠AEK
- ∠KFP = ∠AFP − ∠AFK
Mà:
- ∠AEP = ∠AFP (do tính chất phân giác và cung chắn bằng nhau)
- ∠AEK = ∠AFK (vì K nằm trên AO', O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF)
⇒ ∠KEP = ∠KFP
Suy ra bốn điểm P, E, K, F cùng nằm trên một đường tròn.
⇒ Tứ giác PEKF nội tiếp.
Gọi T là giao điểm hai tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (O').
- Ta có: TE = TF (hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm)
- Do PEKF nội tiếp:
- ∠TEP = ∠TFP
⇒ TE, TF cũng là tiếp tuyến của đường tròn (PEKF)
- ∠TEP = ∠TFP
Suy ra:
- ∠TPA = ∠TBA
- ∠TPA = ∠TCA
⇒ ∠TBA = ∠TCA
Vậy T nhìn BC dưới hai góc bằng nhau ⇒ T nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức là nằm trên (O).
cho tam giác ABC ( AB<AC) có ba góc nhọc nội tiếp đường tròn tâm (O) và D là hình chiếu của B trên AO sao cho D nằm giữa A và O. gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của BD và AC, F là giao điểm của MD và AC, E là giao điểm thứ hai của BD với (O), H là giao điểm của BF và AD.
1/ chứng minh tứ giác BDOM nội tiếp và góc MOD + NAE=180.
2/ chứng minh DF //CE.
3/ chứng minh CA là tia phân giác của góc BCE
4/ Chứng minh HN vuông góc với AB
B1, a, Xét tứ giác AEHF có: góc AFH = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
góc AEH = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Góc CAB = 90o ( tam giác ABC vuông tại A)
=> tứ giác AEHF là hcn(đpcm)
b, do AEHF là hcn => cũng là tứ giác nội tiếp => góc AEF = góc AHF ( hia góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
mà góc AHF = góc ACB ( cùng phụ với góc FHC)
=> góc AEF = góc ACB => theo góc ngoài tứ giác thì tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp (đpcm)
c,gọi M là giao điểm của AI và EF
ta có:góc AEF = góc ACB (c.m.t) (1)
do tam giác ABC vuông tại A và có I là trung điểm của cạng huyền CB => CBI=IB=IA
hay tam giác IAB cân tại I => góc MAE = góc ABC (2)
mà góc ACB + góc ABC + góc BAC = 180o (tổng 3 góc trong một tam giác)
=> ACB + góc ABC = 90o (3)
từ (1) (2) và (3) => góc AEF + góc MAE = 90o
=> góc AME = 90o (theo tổng 3 góc trong một tam giác)
hay AI uông góc với EF (đpcm)