a: Xét tứ giác AMNB có 

AB//MN

AM//BN

Do đó: AMNB là hình bình hành

a: Xét tứ giác ACBD có 

M là trung điểm của AB

M là trung điểm của CD

Do đó: ACBD là hình bình hành

b: Xét ΔABC có 

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của AC

Do đó: NP là đường trung bình

=>NP=AB/2 và NP//AB

Xét tứ giác ABNQ có 

NQ//AB

AQ//BN

Do đó: ABNQ là hình bình hành

Suy ra: NQ=AB

=>NQ=2NP

=>P là trung điểm của NQ

Xét tứ giác ANCQ có

P là trung điểm của AC

P là trung điểm của NQ

Do đó: ANCQ là hình bình hành

mà NA=NC

nên ANCQ là hình thoi

Bài 1: 

a: Xét ΔABD có

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD

Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: MQ//BD và \(MQ=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBCD có 

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của DC

Do đó: NP là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: NP//BD và \(NP=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

hay MQPN là hình bình hành

a: Ta có: \(DE=EC=\frac{DC}{2}\)

\(AK=KB=\frac{AB}{2}\)

mà DC=AB

nên DE=EC=AK=KB

Xét tứ giác AECK có

AK//CE

AK=CE

Do đó: AECK là hình bình hành

b: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

AECK là hình bình hành

=>AC cắt EK tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC

nên O là trung điểm của EK

=>E,O,K thẳng hàng

c: Xét ΔDIC có

E là trung điểm của DC

EN//IC

Do đó: N là trung điểm của DI

=>DN=NI(1)

Xét ΔABK có

K là trung điểm của BA

KI//AN

Do đó: I là trung điểm của BN

=>BI=IN(2)

Từ (1),(2) suy ra DN=NI=IB

d: Xét ΔADC có

AE,DO là các đường trung tuyến

AE cắt DO tại N

DO đó: N là trọng tâm của ΔADC

=>\(AN=\frac23AE\)

Xét ΔABN có

K,I lần lượt là trung điểm của BA,BN

=>KI là đường trung bình của ΔABN

=>KI//AN và \(KI=\frac12AN=\frac12\cdot\frac23\cdot AE=\frac13AE\)

=>AE=3KI