1) Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của AB( gt)

N là trung điểm của BC( gt)

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC

=> \(MN=\dfrac{1}{2}AC\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có:

Q là trung điểm của AD( gt)

P là trung điểm của DC( gt)

=> PQ là đường trung bình của tam giác ADC

=> \(PQ=\dfrac{1}{2}AC\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow MN=PQ\)

b) Xét tam giác ABD có:

M là trung điểm của AB (gt)

F là trung điểm của BD(gt)

=> MF là đường trung bình của tam giác ABD

=> MF//AD và \(MF=\dfrac{1}{2}AD\) (3)

CMTT => EP là đường trung bình của tam giác ADC

=> EP//AD và \(EP=\dfrac{1}{2}AD\left(4\right)\)

Từ (3),(4) => Tứ giác MEPF là hình bình hành

c) Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC(cmt)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=\dfrac{1}{2}AC\\MN//AC\end{matrix}\right.\)(5)

Ta có: PQ là đường trung bình của tam giác ABC(cmt)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}PQ=\dfrac{1}{2}AC\\PQ//AC\end{matrix}\right.\)(6)

Từ (5),(6) => Tứ giác MNPQ là hình bình hành

=> MP cắt PQ tại trung điểm của MP(t/c)

Mà EF cắt MP tại trung điểm MP( tứ giác MEPF là hình bình hành)

=> MP,NQ,EF đồng quy

1: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔADC có 

Q là trung điểm của AD

P là trung điểm của DC

Do đó: QP là đường trung bình của ΔADC

Suy ra: QP//AC và \(QP=\dfrac{AC}{2}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra MN=QP

2: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

Do đó: ME là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: ME//BC và \(ME=\dfrac{BC}{2}\left(3\right)\)

Xét ΔBDC có

F là trung điểm của BD

P là trung điểm của DC

Do đó: FP là đường trung bình của ΔBDC

Suy ra: FP//BC và \(FP=\dfrac{BC}{2}\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\) suy ra FP//ME và FP=ME

hay MEPF là hình bình hành

3: Xét tứ giác MNPQ có 

MN//PQ

MN=PQ

Do đó: MNPQ là hình bình hành

Suy ra: Hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà MP và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

nên MP,NQ,EF đồng quy