a) Xét ΔABC có

E là trung điểm của AB(gt)

F là trung điểm của BC(gt)

Do đó: EF là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒EF//AC và \(EF=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔADC có

H là trung điểm của AD(gt)

G là trung điểm của CD(gt)

Do đó: HG là đường trung bình của ΔADC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒HG//AC và \(HG=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra HG//EF và HG=EF

Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB(gt)

H là trung điểm của AD(gt)

Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒EH//BD và \(EH=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: EH//BD(cmt)

BD⊥AC(gt)

Do đó: EH⊥AC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Ta có: HG//AC(cmt)

EH⊥AC(Cmt)

Do đó: HG⊥HE(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

hay \(\widehat{EHG}=90^0\)

Xét tứ giác EHGF có 

HG//EF(cmt)

HG=FE(cmt)

Do đó: EHGF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành EHGF có \(\widehat{EHG}=90^0\)(cmt)

nên EHGF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: EFGH là hình chữ nhật(cmt)

nên \(S_{EFGH}=EF\cdot EH\)

\(\Leftrightarrow S_{EFGH}=\dfrac{AC}{2}\cdot\dfrac{BD}{2}=\dfrac{10}{2}\cdot\dfrac{8}{2}=5\cdot4=20cm^2\)

Vậy: Diện tích tứ giác EFGH khi AC=10cm và BD=8cm là 20cm²

c) Hình chữ nhật EFGH trở thành hình vuông khi EH=HG

hay AC=BD

Vậy: Khi tứ giác ABCD có thêm điều kiện AC=BD thì EFGH trở thành hình vuông

a: Xét ΔABD có

E,H lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>EH là đường trung bình của ΔABD

=>EH//BD và \(EH=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔCBD có

F,G lần lượt là trung điểm của CB,CD

=>FG là đường trung bình của ΔCBD

=>FG//BD và \(FG=\frac{BD}{2}\)

EH//BD

FG//BD

Do đó; EH//FG

Ta có: \(EH=\frac{BD}{2}\)

\(FG=\frac{BD}{2}\)

Do đó: EH=FG

Xét ΔBAC có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EF là đường trung bình của ΔBAC

=>EF//AC và \(EF=\frac{AC}{2}\)

Ta có: EF//AC
AC⊥BD

Do đó: EF⊥BD

Ta có: EF⊥BD

BD//EH

Do đó: EF⊥ EH

Xét tứ giác EHGF có

EH//GF

EH=GF

Do đó: EHGF là hình bình hành

Hình bình hành EHGF có EF⊥ EH

nên EHGF là hình chữ nhật

b: \(EH=\frac{BD}{2}=\frac62=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

\(EF=\frac{AC}{2}=\frac82=4\left(cm\right)\)

EHGF là hình chữ nhật

=>\(S_{EHGF}=EH\cdot EF=3\cdot4=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Xét ΔABD có

E,H lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>EH là đường trung bình của ΔABD

=>EH//BD và \(EH=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔCBD có

F,G lần lượt là trung điểm của CB,CD

=>FG là đường trung bình của ΔCBD

=>FG//BD và \(FG=\frac{BD}{2}\)

EH//BD

FG//BD

Do đó: EH//GF

Ta có: \(EH=\frac{BD}{2}\)

\(FG=\frac{BD}{2}\)

Do đó: EH=FG

Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EF là đường trung bình của ΔABC

=>\(EF=\frac{AC}{2}\) và EF//AC

EF//AC

AC⊥BD

Do đó: EF⊥BD

EF⊥BD

EH//BD

Do đó: EH⊥ EF tại E

Xét tứ giác EHGF có

EH//GF

EH=GF

Do đó: EHGF là hình bình hành

Hình bình hành EHGF có EH⊥EF

nên EHGF là hình chữ nhật

=>\(S_{EHGF}=EH\cdot EF=\frac12\cdot AC\cdot\frac12\cdot BD=3\cdot2=6\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Xét ΔABD có

E,H lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>EH là đường trung bình của ΔABD

=>EH//BD và \(EH=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔCBD có

F,G lần lượt là trung điểm của CB,CD

=>FG là đường trung bình của ΔCBD

=>FG//BD và \(FG=\frac{BD}{2}\)

EH//BD

FG//BD

Do đó: EH//GF

Ta có: \(EH=\frac{BD}{2}\)

\(FG=\frac{BD}{2}\)

Do đó: EH=FG

Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EF là đường trung bình của ΔABC

=>\(EF=\frac{AC}{2}\) và EF//AC

EF//AC

AC⊥BD

Do đó: EF⊥BD

EF⊥BD

EH//BD

Do đó: EH⊥ EF tại E

Xét tứ giác EHGF có

EH//GF

EH=GF

Do đó: EHGF là hình bình hành

Hình bình hành EHGF có EH⊥EF

nên EHGF là hình chữ nhật

=>\(S_{EHGF}=EH\cdot EF=\frac12\cdot AC\cdot\frac12\cdot BD=3\cdot2=6\left(\operatorname{cm}^2\right)\)