Đáp án B

Trong (ABC), kẻ đường thẳng d đi qua M song song CI

d cắt AC tại H

Trong (SAB) kẻ đường thẳng x đi qua M và song song SI

X cắt SA tại J

⇒ (MHJ) là thiết diện cần tìm

Gọi tứ diện đều cạnh 2a ⇒ AI = a

Ta có AM = x và M J S I = A M A I  (MJ // SI theo cách dựng)

  A M A I = M H C I (MH // CI theo cách dựng)

J H S C = A H A C = A M A I

⇒ MJ = x a . 3 a  =  x 3

       MH = x a . 3 a  =  x 3

       JH = x a . 2 a = 2x

Chu vi thiết diện MHJ là: x 3 + x 3 + 2x = 2x ( 3  + 1 )

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$, nên $S = (0,0,2a)$.

Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ với $AM = x$, $0 < x < a$: $M = (x,0,0)$.

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ có phương trình: $x = x$.

a. Tìm thiết diện

Thiết diện là giao tuyến của mặt phẳng $x=x$ với các cạnh của chóp:

- Giao với $AB$: $Q = (x,0,0)$

- Giao với $SB$: Vector $SB = B-S = (a,0,-2a)$, tham số $t$: $S + t SB = (0,0,2a) + t(a,0,-2a) = (at,0,2a-2a t)$

Yêu cầu $x = at \Rightarrow t = x/a$, khi đó $z = 2a - 2x$, nên giao điểm $P = (x,0,2a-2x)$

- Giao với $SC$: Vector $SC = C-S = (a,2a,-2a)$, tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t(a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a-2a t)$

Yêu cầu $x = at \Rightarrow t = x/a$, khi đó $y = 2x$, $z = 2a - 2x$. Do hình thang vuông nên $y$ tối đa là $2a$ ⇒ lấy $R = (x,2a,0)$

Vậy thiết diện là tam giác $PQR$ với $P = (x,0,2a-2x)$, $Q = (x,0,0)$, $R = (x,2a,0)$.

b. Tính diện tích thiết diện

Vector $\vec{PQ} = Q-P = (0,0,0-(2a-2x)) = (0,0,2x-2a)$

Vector $\vec{PR} = R-P = (0,2a,0-(2a-2x)) = (0,2a,2x-2a)$

Diện tích tam giác: $S = \dfrac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$

Tích có hướng:

$\vec{PQ} \times \vec{PR} = (-4a(a-x), 0, 0)$

Độ lớn: $|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = 4a(a-x)$

Vậy diện tích: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 a (a-x) = 2 a (a-x)$

c.

Từ M kẻ \(MH\perp SC\) (H thuộc SC)

\(\Rightarrow H\in\left(\alpha\right)\Rightarrow\) thiết diện là tam giác BMH

Do \(\left\{{}\begin{matrix}BM\perp\left(SAC\right)\\MH\in\left(SAC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BM\perp MH\Rightarrow\Delta BMH\) vuông tại M

Trong tam giác vuông ABC: \(BM=\dfrac{1}{2}AC=a\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Hai tam giác vuông CHM và CAS đồng dạng (chung góc C)

\(\Rightarrow\dfrac{MH}{SA}=\dfrac{CM}{SC}\Rightarrow MH=\dfrac{SA.CM}{SC}=\dfrac{SA.\dfrac{AC}{2}}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

\(\Rightarrow S_{BMH}=\dfrac{1}{2}BM.MH=\dfrac{a^2\sqrt{5}}{10}\)

Đáp án A

Vì tam giác đều nên 

Đán án B

Dê có:

=> Chọn phương án B

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$, nên $S(0,0,2a)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, \dfrac{0+0}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ ⇒ phương trình mặt phẳng: $x = a/2$

Thiết diện của mặt phẳng này với hình chóp $S.ABCD$ là tứ giác $PQRS$, trong đó:

- Giao với $SA$: $x = a/2$ ⇒ $P = (a/2,0,z)$, với $z$ chạy từ $0$ đến $2a$ ⇒ cạnh thẳng $PS$ chiều cao $2a$

- Giao với $AB$: $x = a/2$ ⇒ $Q = M = (a/2,0,0)$

- Giao với $BC$ và $CD$ tương ứng:

- $BC: B( a,0,0) \to C(a,2a,0)$, $x=a$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có

- $AD: A(0,0,0) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có

- $SC: S(0,0,2a) \to C(a,2a,0)$, $x$ thay đổi từ $0$ đến $a$ ⇒ cắt $x=a/2$ tại $R = (a/2, ? , ?)$

Tìm giao điểm $R$ trên $SC$:

- Vector $SC = C - S = (a - 0, 2a - 0, 0 - 2a) = (a,2a,-2a)$

- Tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t (a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a -2a t)$

- Yêu cầu $x = a/2 \Rightarrow at = a/2 \Rightarrow t = 1/2$

- Khi đó $y = 2a \cdot 1/2 = a$, $z = 2a - 2a * 1/2 = 2a - a = a$

⇒ $R = (a/2, a, a)$

Thiết diện là tam giác $PSR$:

- $P = (a/2,0,0)$

- $S = (0,0,2a)$, nhưng $S$ không trên mặt phẳng $x = a/2$ ⇒ bỏ

- Giao với $SA$: $x$ từ $0$ đến $0$ ⇒ $x=a/2$ ⇒ $z$ khi $x= a/2$ trên $SA$?

- Vector $SA = A \to S = (0,0,0) \to (0,0,2a)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không

- Giao với $AB$: $M = (a/2,0,0)$

- Giao với $SC$: $R = (a/2,a,a)$

- Giao với $SD$: $S(0,0,2a) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không

Vậy thiết diện là **tam giác $M R ?$**. Để tính diện tích, xác định chiều cao:

- Tam giác hai điểm $M(a/2,0,0)$ và $R(a/2,a,a)$, đáy nằm dọc theo $y$ và $z$, cạnh theo $y$ và $z$

- Đáy $MR$ vector: $\vec{MR} = (0,a,a)$

- Chiều dài $|MR| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$

- Chiều cao: $x$ khác nhau? Xác định: $x$ = constant $a/2$ ⇒ tam giác thẳng ⇒ diện tích:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot |MR| \cdot x_{\text{chênh}}$?

- Xét đơn giản: tam giác vuông với cạnh $MR = a \sqrt{2}$, chiều cao $x = 0$ ⇒ không

- Vậy diện tích thiết diện: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a = \dfrac{a^2 \sqrt{2}}{2}$