a: Xét tứ giác AEHF có

góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

=>ΔABK vuông tại B

=>BK//CH

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

=>ΔACK vuông tại C

=>CK//BH

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

=>BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của BC

A B C H M N

a, Vì HM là đường cao => \(HM\perp AB\)=> ^HMA = 90⁰

Vì HN là đường cao => \(HN\perp AC\)=> ^HNA = 90⁰

Xét tứ giác AMHN có : 

^HMA + ^HNA = 90⁰

mà ^HMA ; ^HNA đối nhau 

Vậy tứ giác AMHN nội tiếp

b, Xét tam giác ABH vuông tại H, đường cao HM ta có : 

\(AH^2=AM.AB\)(1)

Xét tam giác ACH vuông tại H, đường cao HN ta có : 

\(AH^2=AN.AC\)(2) 

từ (1) ; (2) suy ra : \(AM.AB=AN.AC\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét tam giác AMN và tam giác ACB ta có : 

^A chung 

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)( cmt )

Vậy tam giác AMN ~ tam giác ACB ( c.g.c )

• B', C' lần lượt là chân đường cao nên:
• • B' ∈ AC, C' ∈ AB
  • BB' ⟂ AC, CC' ⟂ AB
• Suy ra: ∠BB'C = ∠BC'C = 90° ⇒ tứ giác B, C, B', C' nội tiếp.

Xét hai tam giác BPC' và CPB':

• ∠PBC' = ∠PBA (vì C' ∈ AB)
  = ∠PCA (cùng chắn cung PA)
  = ∠PCB' (vì B' ∈ AC)

⇒ ∠PBC' = ∠PCB'

• ∠PC'B = ∠PAB (vì C' ∈ AB)
  = ∠PBA (cùng chắn cung PA)
  = ∠PB'C (vì B' ∈ AC)

⇒ ∠PC'B = ∠PB'C

Suy ra: △BPC' ∼ △CPB' (g.g)

• Do △BPC' ∼ △CPB' ⇒ ∠BPC' = ∠CPB'
• PE, PF là các tia phân giác nên:
  ∠BPE = ∠CPF

Xét hai góc:

• ∠KEP = ∠AEP − ∠AEK
• ∠KFP = ∠AFP − ∠AFK

Mà:

• ∠AEP = ∠AFP (do tính chất phân giác và cung chắn bằng nhau)
• ∠AEK = ∠AFK (vì K nằm trên AO', O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF)

⇒ ∠KEP = ∠KFP

Suy ra bốn điểm P, E, K, F cùng nằm trên một đường tròn.

⇒ Tứ giác PEKF nội tiếp.

Gọi T là giao điểm hai tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (O').

• Ta có: TE = TF (hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm)
• Do PEKF nội tiếp:
• • ∠TEP = ∠TFP
    ⇒ TE, TF cũng là tiếp tuyến của đường tròn (PEKF)

Suy ra:

• ∠TPA = ∠TBA
• ∠TPA = ∠TCA

⇒ ∠TBA = ∠TCA

Vậy T nhìn BC dưới hai góc bằng nhau ⇒ T nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức là nằm trên (O).

a: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>BD//CH

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

=>CD//BH

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD

BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

b: BHCD là hình bình hành

nên BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của HD

Xét ΔDAH có DI/DH=DO/DA

nen Io//AH và IO=AH/2

=>AH=2OI

c: G là trọng tâm

nên AG=2AI

Xét ΔAHD có

AI là trung tuyến

AG=2/3AI

DO đó: G là trọng tâm

giải thích rõ hơn câu c dùm mk dc không ạ