Dựng hình bình hành ABDC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào ABDC ta có:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\)

Gọi O là giao điểm của AD và BC, ta có:

\(AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}}  = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {\frac{1}{2}BC} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(AD = 2AO = a\sqrt 3  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 \)

Vậy độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \) là \(a\sqrt 3 \)

Tham khảo:

a)  \(\)\(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = a\)

b) Dựng hình bình hành ABDC, giao điểm của hai đường chéo là O ta có:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} \)

\(AD = 2AO = 2\sqrt {A{B^2} - B{O^2}}  = 2\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = a\sqrt 3 \)

c) \(\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CA} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a\)

Ta có: \(|\overrightarrow {AB} | = AB\) và \(|\overrightarrow {AC} |\; = AC.\)

Mà \(AB = 3,\;AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2  \)

\( \Rightarrow \;|\overrightarrow {AB} |\, = 3;\;\;|\overrightarrow {AC} |\, = 3\sqrt 2 \)

+) Ta có: \(AB \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overline {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)

Ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt 2  \Leftrightarrow \sqrt {2A{C^2}}  = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow AC = 1\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 1.\sqrt 2 .\cos \left( {45^\circ } \right) = 1\)

+) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1.\sqrt 2 .\cos \left( {45^\circ } \right) = 1\)

a: ΔABC đều cạnh a

=>AB=AC=BC=a; \(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\hat{BAC}=60^0\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot cosBAC\)

\(=a\cdot a\cdot cos60=a^2\cdot\frac12=\frac{a^2}{2}\)

\(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}\)

\(=CB\cdot CA\cdot cosACB\)

\(=a\cdot a\cdot cos60=a^2\cdot\frac12=\frac{a^2}{2}\)

b: \(3\cdot\overrightarrow{BM}=2\cdot\overrightarrow{BC}\)

=>\(\overrightarrow{BM}=\frac23\cdot\overrightarrow{BC}\)

=>\(BM=\frac23BC\) và M nằm giữa B và C

Ta có: BM+MC=BC

=>\(MC=BC-BM=BC-\frac23BC=\frac13BC\)

\(5\cdot\overrightarrow{AN}=4\cdot\overrightarrow{AC}\)

=>\(\overrightarrow{AN}=\frac45\cdot\overrightarrow{AC}\)

=>AN=4/5AC và N nằm giữa A và C

\(\overrightarrow{BN}\cdot\overrightarrow{AM}=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right)\)

\(=\left(-\overrightarrow{AB}+\frac45\cdot\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\frac23\cdot\overrightarrow{BC}\right)=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\frac45\cdot\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}+\frac{8}{15}\cdot\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(=-AB\cdot AB\cdot cos0+\frac23\cdot\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}+\frac45\cdot\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\frac{8}{15}\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\)

\(=-AB^2+\frac23\cdot BA\cdot BC\cdot cos60+\frac45\cdot AB\cdot AC\cdot cos60+\frac{8}{15}\cdot CA\cdot CB\cdot cos60\)

\(=-a^2+\frac13a^2+\frac25a^2+\frac{4}{15}a^2=-\frac23a^2+\frac25a^2+\frac{4}{15}a^2=\frac{-10+6+4}{15}\cdot a^2=0\)

=>AM⊥BN

\(\left|\overrightarrow{HA}\right|=\left|\overrightarrow{HB}\right|=\left|\overrightarrow{HC}\right|=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{2}}{3}=\dfrac{2a\sqrt{2}}{9}\)