A B C M I E F

Vì EI//BM

Áp dụng định lý Talet vào tam giác AEI và tam giác ABM có 

\(\frac{EI}{BM}=\frac{AI}{AM}\)(1)

Tương tự ta được \(\frac{AI}{AM}=\frac{IF}{MC}\)(2)

Từ (1)(2) => \(\frac{EI}{BM}=\frac{IF}{MC}\) 

mà BM = MC

=> EI = IF (đpcm) 

Ta có: \(EF//BC\Rightarrow\hept{\begin{cases}EI//BM\left(I;E\in AM,AB\right)\\IF//MC\left(I;F\in AM,AC\right)\end{cases}}\)

Hệ quả định lí Ta-lét: \(\hept{\begin{cases}\frac{EI}{BM}=\frac{AI}{AM}\\\frac{FI}{CM}=\frac{AI}{AM}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{EI}{BM}=\frac{FI}{CM}\)

Mà \(BM=CM\) (vì AM là đường trung tuyến)

\(\Rightarrow EI=FI\)

a: Xét tứ giác AFEI có \(\hat{AFE}=\hat{AIE}=\hat{FAI}=90^0\)

nên AFEI là hình chữ nhật

b: EF⊥AB

AB⊥ AC

Do đó: EF//AC

Ta có: EI⊥AC

AB⊥ AC

Do đó: EI//AB

Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

EF//AC

Do đó: F là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

EI//AB

Do đó: I là trung điểm của CA

Ta có; AFEI là hình chữ nhật

=>AF=EI

mà AF=FB

nên EI=FB

Xét tứ giác BFIE có

BF//IE

BF=IE

Do đó: BFIE là hình bình hành

c: Gọi O là giao điểm của FI và AE

AFEI là hình chữ nhật

=>AE cắt FI tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AE và FI

AFEI là hình chữ nhật

=>AE=FI

mà \(OA=OE=\frac{AE}{2};OF=OI=\frac{FI}{2}\)

nên \(OA=OE=OF=OI=\frac{AE}{2}=\frac{FI}{2}\)

ΔIDF vuông tại D

mà DO là đường trung tuyến

nên \(DO=\frac{FI}{2}=\frac{AE}{2}\)

Xét ΔDAE có

DO là đường trung tuyến

\(DO=\frac{AE}{2}\)

Do đó: ΔDAE vuông tại D

=>DE⊥ DA

a: Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF
Do đó: AECF là hình bình hành

=>AC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của EF

b: Xét ΔBAC có EI//AC

nên EI/AC=BE/BA

Xét ΔDAC có KF//AC

nên KF/AC=DF/DC

=>EI=KF

mà EI//KF(//A)

nên EIFK là hình bình hành

=>EF cắt KI tại trun điểm của mỗi đường

=>I đối xứng với K qua O

Ta có:IE//BM

Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có:\(\dfrac{EI}{BM}=\dfrac{AI}{AM}\)(1)

Ta có:IF//MC

Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có:\(\dfrac{FI}{CM}=\dfrac{AI}{AM}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{EI}{BM}=\dfrac{IF}{MC}\)

Mà BM=MC(gt) \(\Rightarrow EI=IF\)

Định lí Talet đko :))