a) Xét \(\Delta CAH:\) ta có: E là trung điểm AC và \(EF\parallel AH(\bot BC)\)

\(\Rightarrow F\) là trung điểm CH \(\Rightarrow EF\) là đường trung bình \(\Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}AH\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH^2=BH.CH\)

Ta có: \(EF^2=\left(\dfrac{1}{2}AH\right)^2=\dfrac{1}{4}AH^2=\dfrac{1}{4}.BH.HC\)

b) Ta có: \(\angle BAE+\angle BFE=90+90=180\Rightarrow ABFE\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle FBE=\angle FAE\)

Xét \(\Delta CBE\) và \(\Delta CAF:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle CBE=\angle CAF\\\angle BCAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CBE\sim\Delta CAF\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AF}{BE}=\dfrac{AC}{BC}=cosC\Rightarrow AF=cosC.BE\)

a: Xét ΔAHC có 

E là trung điểm của AC

EF//AH

Do đó: F là trung điểm của CH

Xét ΔAHC có 

E là trung điểm của AC

F là trung điểm của CH

Do đó: EF là đường trung bình của ΔAHC

Suy ra: \(EF=\dfrac{AH}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền CB

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

hay \(AH=\sqrt{HB\cdot HC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(EF=\dfrac{\sqrt{HB\cdot HC}}{2}\)

hay \(EF^2=\dfrac{HB\cdot HC}{4}\)

a: Gọi O là trung điểm của BC

=>O là tâm đường tròn đường kính BC

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>CE⊥AB tại E và \(\hat{BEC}=90^0\)

Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>BF⊥AC tại F và \(\hat{BFC}=90^0\)

b: Xét ΔABC có

BF,CE là các đường cao

BF cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC

c: Kẻ OK⊥EF tại K

ΔOEF cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của EF

Ta có: OK⊥EF

BM⊥EF

CN⊥EF

DO đó: BM//CN//OK

Xét hình thang BMNC có

O là trung điểm của BC

OK//BM//CN

Do đó: K là trung điểm của MN

Ta có: KE+EM=KM

KF+FN=KN

mà KE=KF và KM=KN

nên EM=FN