🔷 Đề bài:

Cho tam giác \(\triangle A B C\) vuông tại A, với \(A B < A C\), đường cao từ A là \(A H\).

a) Cho \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm}\), \(B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\). Giải tam giác ABC.

b) Gọi M là hình chiếu của H lên AB, K là hình chiếu của H lên AC.

Chứng minh:

\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

🔹 Phần a) – Giải tam giác ABC

Dữ kiện:

• Tam giác ABC vuông tại A ⇒ \(\angle A = 90^{\circ}\)
• \(A B < A C\) ⇒ B là góc nhỏ hơn C ⇒ \(\angle B < \angle C\)
• \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\) (BC là cạnh huyền)
• Cần tìm cạnh còn lại AB và các góc.

✳️ Tính cạnh AB:

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông tại A:

\(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 20^{2} - 16^{2} = 400 - 256 = 144 \Rightarrow A B = \sqrt{144} = \boxed{12 \textrm{ } \text{cm}}\)

✳️ Tính các góc B và C:

Sử dụng hàm lượng giác trong tam giác vuông:

• Trong tam giác vuông tại A:

\(cos ⁡ B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow \angle B = \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{3}{5} \left.\right) \approx \boxed{53.13^{\circ}}\)\(\angle C = 90^{\circ} - \angle B \approx 90^{\circ} - 53.13^{\circ} = \boxed{36.87^{\circ}}\)

✅ Kết quả phần a:

\(A B = 12 \textrm{ } \text{cm} , A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\)\(\angle B \approx 53.13^{\circ} , \angle C \approx 36.87^{\circ}\)

🔹 Phần b) – Chứng minh:

Gọi:

• H là chân đường cao từ A
• M là hình chiếu của H lên AB
• K là hình chiếu của H lên AC

Cần chứng minh:

\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

🎯 Chiến lược giải:

Chúng ta sẽ:

1. Làm việc trong tam giác vuông tại A với đường cao AH
2. Dựng các hình chiếu M, K
3. Sử dụng lượng giác để biểu diễn độ dài các đoạn BM, CK
4. Chứng minh đẳng thức

✳️ Bước 1: Ghi nhớ các quan hệ

Trong tam giác ABC vuông tại A:

• Gọi \(A H \bot B C\)
• \(H\) là chân đường cao từ A xuống BC
• \(M\) là hình chiếu của H lên AB
• \(K\) là hình chiếu của H lên AC

✳️ Bước 2: Tọa độ hóa (tùy chọn – hỗ trợ hình dung và tính toán):

Giả sử:

• Đặt \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• Vì tam giác vuông tại A, ta đặt:
• • \(B \left(\right. 12 , 0 \left.\right)\) (nằm trên trục hoành)
  • \(C \left(\right. 0 , 16 \left.\right)\)

→ Khi đó:

• \(A B = 12\)
• \(A C = 16\)
• \(B C = 20\) (đã đúng với phần a)

✳️ Bước 3: Tính AH

Dùng công thức đường cao trong tam giác vuông:

\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = \boxed{9.6 \textrm{ } \text{cm}}\)

✳️ Bước 4: Tính BM và CK

Ta sẽ dùng công thức lượng giác để biểu diễn BM và CK.

Tam giác ABH vuông tại H:

• Góc \(\angle A B H = \angle B\)
• Trong tam giác vuông ABH:
  \(B M = A H \cdot cos ⁡ B\)

Tam giác ACH vuông tại H:

• Góc \(\angle A C H = \angle C\)
• Trong tam giác vuông ACH:
  \(C K = A H \cdot sin ⁡ B\)

(Vì tam giác vuông tại A, nên \(\angle C = 90^{\circ} - B\), nên \(cos ⁡ C = sin ⁡ B\))

✳️ Tính tổng:

\(B M + C K = A H \cdot \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right)\)

Nhưng đề bài yêu cầu:

\(B M + C K = B C \cdot \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

✳️ Liên hệ \(A H\) với \(cos ⁡ B\) và \(sin ⁡ B\):

Ta biết:

\(cos ⁡ B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow A B = B C \cdot cos ⁡ B\)\(sin ⁡ B = \frac{A C}{B C} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \Rightarrow A C = B C \cdot sin ⁡ B\)

Rồi:

\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{B C \cdot cos ⁡ B \cdot B C \cdot sin ⁡ B}{B C} = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B\)

Thay vào biểu thức:

\(B M = A H \cdot cos ⁡ B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \cdot cos ⁡ B = B C \cdot \left(cos ⁡\right)^{2} B \cdot sin ⁡ B\)\(C K = A H \cdot sin ⁡ B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \cdot sin ⁡ B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot \left(sin ⁡\right)^{2} B\)

Tổng lại:

\(B M + C K = B C \cdot \left(cos ⁡\right)^{2} B \cdot sin ⁡ B + B C \cdot cos ⁡ B \cdot \left(sin ⁡\right)^{2} B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right)\)

Nhưng đề bài là:

\(B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

Nhận xét:

Dùng đẳng thức đáng nhớ:

\(a^{3} + b^{3} = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right)\)

Không giống trực tiếp.

Nhưng:

Từ trước:

\(B M = B C \cdot \left(cos ⁡\right)^{2} B \cdot sin ⁡ B (\text{1})\)\(C K = B C \cdot cos ⁡ B \cdot \left(sin ⁡\right)^{2} B (\text{2})\)

Tổng:

\(B M + C K = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right)\)

Mặt khác:

\(\left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B = \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right) \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{2} B - cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B + \left(sin ⁡\right)^{2} B \left.\right) = \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right) \left(\right. 1 - cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \left.\right)\)

⇒ Nhận thấy đề bài không yêu cầu rút gọn, chỉ cần biến đổi khéo biểu thức ban đầu về vế phải.

✅ Kết luận:

\(\boxed{B M + C K = B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)}\)

Chứng minh hoàn tất.

Tham khảo

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=3^2+4^2=25=5^2\)

=>BC=5(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có \(\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac35\)

nên \(\hat{C}\) ≃37 độ

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ABC}=90^0-37^0=53^0\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC\)

Tam giác vuông có các tỉ số cạnh tỉ lệ với sin, cos, tan

ví dụ \(A B = 8\), \(A C = 15\)

\(B C = \sqrt{8^{2} + 15^{2}} = 17\)

Vì tam giác vuông này có tỉ số \(\frac{A C}{A B} = \frac{15}{8}\) ta tra bảng hoặc dùng máy tính để tìm góc \(B \approx 61 , 9^{\circ}\)

Rồi \(\angle C = 28 , 1^{\circ}\)

a.

\(C=90^0-B=90^0-38^0=52^0\)

\(BC=\frac{AB}{\cos B}=\frac{20}{\cos38^0}=25,38\operatorname{cm}\)

\(AC=AB.\tan B=20.\tan38^0=15,63\operatorname{cm}\)

b.

\(B=90^0-C=90^0-54^0=36^0\)

\(BC=\frac{AC}{\cos C}=\frac{25}{\cos54^0}=42,53\operatorname{cm}\)

\(AB=AC.\tan C=25.\tan54^0=34,41\operatorname{cm}\)

c.

\(C=90^0-B=23^0\)

\(AB=BC.\cos B=10,94\operatorname{cm}\)

\(AC=BC.\sin B=25,77\operatorname{cm}\)

d.

Ap dung Pitago:

\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17\operatorname{cm}\)

\(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{17}\Rightarrow B=61^055^{\prime}\)

\(C=90^0-B=28^05^{\prime}\)

e.

Ap dung Pitago:

\(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{21^2-10^2}=\sqrt{341}cm\)

\(\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{10}{21}\Rightarrow B=61^034^{\prime}\)

\(C=90^0-B=28^026^{\prime}\)

a: Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Xét ΔABC vuông tại A có \(\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\)

nên \(\widehat{B}=53^0\)

=>\(\widehat{C}=37^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

hay AH=4,8(cm)

a. Ta có: AB² = 6² = 36

AC² = 4,5² = 20,25

BC² = 7,5² = 56,25

Vì AB² + AC² = 36 + 20,25 = 56,25 = BC² nên tam giác ABC vuông tại A (theo định lí đảo Pi-ta-go)

Kẻ AH ⊥ BC

Ta có: AH.BC = AB.AC

\(\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\)

chịu toán lp 9 mới có lp 7 thôi mà

A B C

a, Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pytago ta có:

BC² = AB² + AC²

BC² = 21² + 72²

BC² = 5625

BC = 75 (cm)

b, Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Ta có: AB² = BH . BC (định lí 1)

           21² = BH . 75

           BH = 441 : 75

           BH = 5,88 (cm)

Ta có : BC = BH + HC

            75 = 5,88 + HC

            HC = 75 - 5,88

            HC = 69,12 (cm)

Ta có: AH² = BH . HC

          AH² = 5,88 . 69,12

          AH² = 406,4256

          AH = 20,16 (cm)

c, (Bạn tự vẽ tia p/g nha)

Theo tính chất đường phân giác góc B ta có:

=> AD/ DC = AB/ BC

=> AD/ AB = DC/BC

=> AD/ 21 = DC/ 75

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

AD/21 = DC/ 75 = AD + DC/ 21 + 75 = AC/ 96 = 72/ 96 = 3/4

=> AD/ 21 = 3/4 => AD = 15,75 (cm)

=> DC/ 75 = 3/4 => DC = 56, 25 (cm)

Mình không biết bạn có đánh sai số hay không mà số chênh nhau lớn quá, nếu bạn đánh sai thì chỉ cần thay số trong bài mình làm cho bạn là được nha :33

CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!