c) Xét tam giác AHB vuông tại H có HP là đường cao nên

AP.BP = HP 2

Xét tam giác AHC có HQ là đường cao nên

AQ.AC = HQ 2

Khi đó: AP.BP + AQ.AC = HP 2 +  HQ 2  = PQ 2  (ΔPHQ vuông tại H)

⇒ AP.BP + AQ.AC = 12 / 5 2  = 5,76 cm

b)Xét tam giác ABC vuông tại A có:

∠B + ∠C = 90 0  ⇒ ∠C = 90 0 - 53 , 1 0 = 36 , 9 0

Xét tứ giác APHQ có:

∠(PAQ) = ∠(AQH) = ∠(APH) =  90 0

⇒ Tứ giác APHQ là hình chữ nhật

⇒ PQ = AH = 12/5 (cm)

Bạn tự vẽ hình.

(a) \(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagoras\right)\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

+) \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow\hat{B}\approx53^o\)

+) \(\hat{C}=90^o-\hat{B}\approx90^o-53^o=37^o\)

(b) +) \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\)

\(\hat{A}=\hat{E}=\hat{F}=90^o\left(gt\right)\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật.

Do đó, \(EF=AH\left(đpcm\right)\)

ok bn

a: \(AB=\sqrt{3\cdot15}=3\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{12\cdot15}=6\sqrt{5}\left(cm\right)\)

b: \(\dfrac{HF}{HE}=\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AH^2}{AB}:\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{AC}{AB}=2\)

=>HF=2HE

Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Suy ra: AH = DE (tính chất hình chữ nhật)

Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao

Theo hệ thức giữa đường cao và hình chiếu ta có:

A H 2  = HB.HC = 4.9 = 36 ⇒ AH = 6 (cm)

Vậy DE = 6 (cm)

a: Xét ΔABC vuông tại A có HA là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH=\frac{3^2}{5}=1,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔBHA vuông tại H có HM là đường cao

nên \(BM\cdot BA=BH^2\)

=>\(BM=\frac{1.8^2}{3}=\frac{3.24}{3}=1.08\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(HN\cdot AC=HA\cdot HC\)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(HM\cdot AB=HA\cdot HB\)

\(HM\cdot AB+HN\cdot AC\)

\(=HA\cdot HC+HA\cdot HB\)

\(=HA\left(HB+HC\right)=HA\cdot BC\)

c: ΔHMB vuông tại M

mà MQ là đường trung tuyến

nên MQ=QH

=>ΔQMH cân tại Q

=>\(\hat{QMH}=\hat{QHM}\)

mà \(\hat{QHM}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị, HM//AC)

nên \(\hat{QMH}=\hat{ACB}\)

ΔCNH vuông tại N

mà NK là đường trung tuyến

nên KN=KH

=>ΔKNH cân tại K

=>\(\hat{KNH}=\hat{KHN}\)

mà \(\hat{KHN}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, HN//AB)

nên \(\hat{KNH}=\hat{ABC}\)

Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>\(\hat{NMH}=\hat{NAH}\)

=>\(\hat{NMH}=\hat{HAC}\)

AMHN là hình chữ nhật

=>\(\hat{MNH}=\hat{MAH}=\hat{HAB}\)

\(\hat{KNM}=\hat{KNH}+\hat{MNH}\)

\(=\hat{HAB}+\hat{HBA}=90^0\)

=>KN⊥NM

\(\hat{NMQ}=\hat{NMH}+\hat{QMH}\)

\(=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

=>MN⊥MQ

mà KN⊥NM

nên KN//MQ

Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên: