xét tam giác ABD có góc BAD=90 độ
= BD^2=AB^2+AD^2
=>AB^2=BD^2-AD^2=10-1=9
=> AB=3 cm
có AC=AD+DC=1+√10 cm
tam giác ABC vuông tại A
=>AB^2+AC^2=BC^2
=>BC^2=9+1+2√10+10=20+2√10
=>BC=√(20+2√10)

DC =\(\sqrt{10}\)tại sao

Lời giải:

Theo tính chất tia phân giác:

$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac{4\sqrt{10}}{5\sqrt{10}}=\frac{4}{5}$

$AC=4\sqrt{10}+5\sqrt{10}=9\sqrt{10}$

Áp dụng định lý Viet:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Leftrightarrow (\frac{5}{4}AB)^2=AB^2+(9\sqrt{10})^2$

$\Leftrightarrow AB^2=1440$

$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1440+(4\sqrt{10})^2}=\sqrt{1440+160}=40$ (cm)

Hình vẽ:

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABD vuông tại A, ta được:

\(BD^2=AB^2+AD^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=BD^2-AD^2=\left(4\sqrt{10}\right)^2-4^2=144\)

hay AB=12(cm)

Xét ΔABD vuông tại A có

\(\tan\widehat{ABD}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\)

hay \(\widehat{ABD}\simeq18^026'\)

mà \(\widehat{ABC}=2\cdot\widehat{ABD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

nên \(\widehat{ABC}\simeq36^052'\)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(AC=AB\cdot\tan\widehat{ABC}\)

\(\Leftrightarrow AC=12\cdot\tan36^052'\simeq9\)(cm)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{12\cdot9}{2}=\dfrac{108}{2}=54\left(cm^2\right)\)

Đặt \(CD=x,BC=y\left(x,y>0\right)\)

Ta có \(AB=\sqrt{BD^2-AD^2}=12\)

Ta có hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\\12^2+\left(4+x\right)^2=y^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=3x\\144+\left(4+x\right)^2=\left(3x\right)^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=3x\\x=5\left(h\right)x=-4\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=15\end{cases}}\)(Vì \(x,y>0\))

Vậy \(S_{ABC}=\frac{AB.\left(AD+CD\right)}{2}=\frac{12.\left(4+5\right)}{2}=54.\)