Xét tứ giác AMED có 

AM//ED

EM//AD

Do đó: AMED là hình bình hành

Suy ra: AE và MD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

A B C E D F

Ta sẽ nối điểm F với D

Ta có: EF//BC=>EF//BD(D\(\in\)BC)=>^EFD=^BDF(so le trong).

ED//AB=>ED//BF(F\(\in\)AB)=>^BFD=^EDF

Xét tam giác BFD và tam giác EDF:^EFD=^BDF; FD chung; ^BFD=^EDF=> Tam giác BFD = Tam giác EDF (g.c.g)

=>BF=ED(2 cạnh tương ứng). Mà AE=BF=>AE=ED(t/c bắc cầu)

Tam giác BFD=Tam giác EDF=>BD=FE=>^FBD=^FED(2góc tương ứng)

FE//BD=>^FBD=^AFE(đồng vị)

Xét tam giác BFD  và tam giác FAE có: ^FBD=^AFE; BD=FE; ^FDB=^AEF=> Tam giác BFD=Tam giác FAE (g.c.g)

=>^BFD=^FAE=>FD//AE. Do FD//AE; ED//AF=>FD=AE; ED=AF(t/c đoạn chắn)

Mà DE=AE(cmt)=>DF=AF=AE=ED=>^FDE=^AED=90o

Xét tam giác FDE và tam giác AED: DE chung; ^FDE=^AED=90o; FD=AE=> Tam giác FDE=Tam giác AED(c.g.c)(1)

FD//EC=>^FDE=^CED(so le trg). FE//DC=>^FED=^CDE(so le trg)

Xét tam giác FED và tam giác CDE: ^FDE=^CED; DE chung; ^FED=^CDE=>Tam giác FED=Tam giác CDE(g.c.g)(2)

Từ (1) và (2)=> Tam giác AED=Tam giác CED=>DA=DC

=>Tam giác BFD=Tam giác DEC(g.c.g)=>DB=DA. mà DA=DC=> Điểm D cách đều AB và AC (đpcm)

a: Sửa đề: AB<AC

Xét ΔEAD và ΔFDA có

\(\hat{EAD}=\hat{FDA}\) (hai góc so le trong, AE//DF)

AD chung

\(\hat{EDA}=\hat{FAD}\) (hai góc so le trong, AF//DE)

Do đó: ΔEAD=ΔFDA

=>EA=FD; ED=FA

Ta có: DF//AB

=>\(\hat{FDA}=\hat{DAB}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{DAB}=\hat{FAD}\)(AD là phân giác của góc BAC)

nên \(\hat{FAD}=\hat{FDA}\)

=>FA=FD
mà EA=FD; ED=FA

nên EA=FD=ED=FA

b: Ta có: AE=AF

=>A nằm trên đường trung trực của EF(1)

DE=DF

=>D nằm trên đường trung trực của EF(2)

Từ (1),(2) suy ra AD là đường trung trực của EF

=>AD⊥EF

mà AD⊥PQ

nên EF//PQ

c: Qua B, kẻ BK//AC(K∈PQ)

Xét ΔMBK và ΔMCQ có

\(\hat{MBK}=\hat{MCQ}\) (hai góc so le trong, BK//CQ)

MB=MC

\(\hat{BMK}=\hat{CMQ}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMBK=ΔMCQ

=>BK=CQ

Xét ΔAPQ có EF//PQ

nên \(\frac{AE}{AP}=\frac{AF}{AQ}\)

mà AE=AF

nên AP=AQ

=>ΔAPQ cân tại A

=>\(\hat{AQP}=\hat{APQ}\)

mà \(\hat{AQP}=\hat{BKP}\) (hai góc đồng vị, BK//AQ)

nên \(\hat{BKP}=\hat{BPK}\)

=>BK=BP

mà BK=CQ

nên BP=CQ

a: Xét ΔEDA và ΔFAD có

\(\hat{EDA}=\hat{FAD}\) (hai góc so le trong, ED//FA)

AD chung

\(\hat{EAD}=\hat{FDA}\) (hai góc so le trong, FD//AE)

Do đó: ΔEDA=ΔFAD

=>ED=FA; EA=FD

Ta có: ED//AC

=>\(\hat{EDA}=\hat{DAC}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{DAC}=\hat{EAD}\) (AD là phân giác của góc BAC)

nên \(\hat{EDA}=\hat{EAD}\)

=>ΔEAD cân tại E

=>EA=ED

mà ED=FA: EA=FD

nên ED=FA=EA=FD

b:

Xét ΔAPQ có

Ax là đường cao

Ax là đường phân giác

Do đó: ΔAPQ cân tại A

=>AP=AQ

Xét ΔAPQ có \(\frac{AE}{AP}=\frac{AF}{AQ}\)

nên FE//PQ