Câu hỏi của bí mật ra

Question

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của các tia CB, AC, BA lấy lần lượt các điểm M, P, Q sao cho CM = AP = BQ. Chứng minh rằng: Nếu MPQ là tam giác đều thì ABC cũng là tam giác đều.

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

Giả sử ΔABC đều

Khi đó, ta có: AB=AC=BC và $\hat{ABC}=\hat{ACB}=\hat{BAC}=60^0$

Ta có: $\hat{ACB}+\hat{ACM}=180^0$ (hai góc kề bù)

$\hat{BAC}+\hat{BAP}=180^0$ (hai góc kề bù)

$\hat{ABC}+\hat{QBC}=180^0$ (hai góc kề bù)

mà $\hat{ACB}=\hat{BAC}=\hat{ABC}\left(=60^0\right)$

nên $\hat{ACM}=\hat{BAP}=\hat{QBC}$

Ta có: PC=PA+AC

BM=CM+CB

AQ=AB+BQ

mà AC=CB=AB và PA=CM=BQ

nên PC=BM=AQ

Xét ΔPCM và ΔQAP có

PC=QA

$\hat{PCM}=\hat{QAP}$

CM=AP

Do đó: ΔPCM=ΔQAP

=>PM=QP

Xét ΔQBM và ΔPAQ có

QB=PA

$\hat{QBM}=\hat{PAQ}$

BM=AQ

Do đó: ΔQBM=ΔPAQ

=>QM=PQ

=>PM=PQ=QM

=>ΔPQM đều

Câu trả lời: