Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Chuyển $S_{ABC}=x$. Tính $BD.CE$ theo $x$
Đặt $AB=c; BC=a; CA=b$.
Theo tính chất tia phân giác:
$\frac{AD}{DC}=\frac{c}{a}\Rightarrow \frac{AD}{b}=\frac{c}{c+a}$
$\Rightarrow AD=\frac{bc}{c+a}$
Tương tự:
$AE=\frac{bc}{a+b}$
Áp dụng định lý Pitago:
$BD^2=c^2+(\frac{bc}{a+c})^2=c^2[1+\frac{b^2}{(a+c)^2}]$
$=c^2.\frac{(a+c)^2+b^2}{(a+c)^2}=c^2.\frac{a^2+b^2+c^2+2ac}{(a+c)^2}$
$=c^2.\frac{2a^2+2ac}{(a+c)^2}=\frac{2ac^2}{a+c}$
Tương tự:
$CE^2=\frac{2ab^2}{a+b}$
Do đó:
$BD^2.CE^2=\frac{4a^2b^2c^2}{(a+c)(a+b)}$
$BD.CE=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\frac{4xa}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$
Như bạn thấy thì $BD.CE$ không tính được riêng theo $S_{ABC}$ mà vẫn bị ảnh hưởng bởi $AB,AC$
qwdddddddddddddddđqqqddddddddddddddddddddddddddddddddddddd09U*(9w bi uehvuhytgvguvh eogeohseydđ qddddddasdewd 7fh 89
Câu b
Từ N kể đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng AB tại K => KBCN là hình thang (*)
Lại có góc BKN = ABC ( đồng vị), CNK = ACB (đồng vị) và ABC = ACB nên BKN = CNK (**)
từ (*) và (**) => KBCN là hình thang cân => BK = CN = BM.
=> AK = AN nên tam giác AKN cân tại A => AO là đường trung trực của KN => OK = ON (4)
vì OI là trung trực của MN nên OM = ON (5)
từ (4) và (5) => OM = OK => tam giác OMK cân tại O lại có BM = BK (cmt) nên OB v^g góc với AB.
Tam giác ABO và Tam giác ACO có: AB = ÃC, BAO = CAO (gt) , AO chung nên tam giác ABO = tam giác ACO (c,g,c) => ACO = ABO = 90độ. hay OC vuông góc với AC.
A B C D E I
Ta có bài toán phụ sau: Nếu \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) thì \(\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}\)
Chứng minh:
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\Leftrightarrow ac+ad=ac+bc\Leftrightarrow a\left(c+d\right)=c\left(a+b\right)\Rightarrow\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}\)
Áp dụng vào bài toán:
Theo t/c đường phân giác trong tam giác, ta có: \(\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}\)
\(\Rightarrow\frac{CD}{CD+AD}=\frac{BC}{BC+AB}\Rightarrow\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB+BC}\Rightarrow CD=\frac{BC.AC}{AB+BC}\)(1)
Tương tự: \(BE=\frac{BC.AB}{BC+AC}\)(2)
Trong tam giác DBC có phân giác CI nên \(\frac{BI}{DI}=\frac{BC}{CD}\Rightarrow\frac{BI}{DI+BI}=\frac{BC}{CD+BC}\)(3)
Thế (1) vào (3), được
\(\Rightarrow\frac{BI}{BD}=\frac{BC}{BC+\frac{BC.AC}{AB+BC}}=\frac{BC}{\frac{BC.\left(AB+AC+BC\right)}{AB+BC}}=\frac{AB+BC}{AB+AC+BC}\)(*)
Lại có: \(\frac{CI}{EI}=\frac{BC}{BE}\Rightarrow\frac{CI}{CE}=\frac{BC}{BC+BE}\)(4)
Thế (2) vào (4) \(\Rightarrow\frac{CI}{CE}=\frac{BC}{BC+\frac{BC.AB}{BC+AC}}=\frac{BC}{\frac{BC\left(AB+AC+BC\right)}{BC+AC}}=\frac{BC+AC}{AB+AC+BC}\)(2*)
Nhân (*) với (2*) \(\Rightarrow\frac{BI.CI}{BD.CE}=\frac{\left(AB+BC\right)\left(BC+AC\right)}{\left(AB+AC+BC\right)^2}\).
Mà \(BD.CE=2.BI.CI\Rightarrow\frac{\left(AB+BC\right)\left(AC+BC\right)}{\left(AB+AC+BC\right)^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2.\left(BC^2+AB.BC+AC.AB+AC.BC\right)=AB^2+AC^2+BC^2+2.\left(AB.BC+AC.AB+AC.BC\right)\)\(\Leftrightarrow2BC^2=AB^2+AC^2+BC^2\Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)
Suy ra tam giác ABC vuông tại A (ĐL Pytago đảo). Hay ^BAC = 900 (đpcm).
hai doan day xanh va day vang dai tat ca 119mneu cat di 3/5 doan day xanh va 3/7 day vang thi phan con lai cua hai doan day bang nhau tinh chieu dai cua moi doan day ai lam dc giup di
ta có:bd.ce=2.bi.ci nên \(\frac{bi.ci}{bd.ce}=\frac{1}{2}\)
theo tính chất ta có :\(\frac{bi}{id}=\frac{ab}{ad}\Leftrightarrow\frac{bi}{id+bi}=\frac{ab}{ad+ab}\Leftrightarrow\frac{bi}{bd}=\frac{ab}{ad+ab}\)
mà\(\frac{ad}{dc}=\frac{ab}{bc}\Leftrightarrow\frac{ad}{ad+dc}=\frac{ab}{ab+bc}\Leftrightarrow\frac{ad}{ac}=\frac{ab}{ab+bc}\)
\(\Rightarrow ad=\frac{ab.ac}{ab+bc}\)
\(\Rightarrow\frac{bi}{bd}=\frac{ab}{ad+ab}=\frac{ab}{\frac{ab.ac}{ab+bc}+ab}=\frac{ab+bc}{ab+bc+ca}\)
tương tư :theo tính chất taco\(\frac{ci}{ie}=\frac{ac}{ae}\Leftrightarrow\frac{ci}{ce}=\frac{ac}{ac+ae}\)
mà \(\frac{ae}{eb}=\frac{ac}{bc}\Leftrightarrow\frac{ae}{ab}=\frac{ac}{ac+bc}\Leftrightarrow ae=\frac{ab.ac}{ac+bc}\)
do đó\(\frac{ci}{ce}=\frac{ac}{ac+ae}=\frac{ac}{ac+\frac{ab.ac}{ac+bc}}=\frac{bc+ac}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow\frac{bi}{bd}.\frac{ce}{ci}=\frac{ab+bc}{ab+bc+ca}.\frac{bc+ac}{ab+bc+ca}\)
mà \(\frac{bi}{bd}.\frac{ce}{ci}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{ab+bc}{ab+bc+ca}.\frac{bc+ac}{ab+ac+bc}\)
\(\Leftrightarrow bc^2=ab^2+ac^2\)
theo định lí py ta go đảo ta có:tam giác abc vuông tại a
\(\Rightarrow\widehat{bac}=90^0\)
a b c d e i h
Đặt AB=c, BC=a,CA=b.
Theo tính chất đường phân giác ta có :CDAD=BCBA=>CDAD+CD=CDAC=BCBA+BC=>CD=AC.BCAB+BC=abc+aCDAD=BCBA=>CDAD+CD=CDAC=BCBA+BC=>CD=AC.BCAB+BC=abc+a
Tương tự BE=aca+bBE=aca+b
Theo tính chất dương phân giác có :BIID=BCDC=>BIBI+ID=BCBC+CD=>BIBD=aa+aba+c=aa(a+b+c)a+c=b+ca+b+cBIID=BCDC=>BIBI+ID=BCBC+CD=>BIBD=aa+aba+c=aa(a+b+c)a+c=b+ca+b+c
Tương tự CICE=a+ca+b+cCICE=a+ca+b+c
Do BD.CE=2BI.IC=>BIBD.ICCE=12=>(a+c)(b+c)a+b+c2=12<=>a2+b2=c2=>ΔABCBD.CE=2BI.IC=>BIBD.ICCE=12=>(a+c)(b+c)a+b+c2=12<=>a2+b2=c2=>ΔABC vuông tại A