Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
Sửa đề: Chứng minh \(\frac{S_{ABI}}{S_{AMN}}=\frac{1}{2\cdot\sin^2B}+\frac{1}{2cos^2HAC}\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC;AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB\)
Ta có: \(\frac{1}{2\cdot\sin^2B}+\frac{1}{2cos^2HAC}\)
\(=\frac{1}{2\cdot\sin^2B}+\frac{1}{2\cdot cos^2B}=\frac12\left(\frac{1}{\sin^2B}+\frac{1}{cos^2B}\right)\)
\(=\frac12\cdot\frac{\sin^2B+cos^2B}{\left(\sin B\cdot cosB\right)^2}=\frac12\cdot\frac{1}{\left(\sin B\cdot cosB\right)^2}\)
\(=\frac12\cdot\frac{1}{\left(\frac{AC}{BC}\cdot\frac{AB}{BC}\right)^2}=\frac12\cdot\frac{1}{\left(\frac{AB\cdot AC}{BC^2}\right)^2}=\frac12\cdot\left(\frac{1}{\frac{AH\cdot BC}{BC^2}}\right)^2\)
\(=\frac12\cdot\left(\frac{BC}{AH}\right)^2\) (2)
Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\)
=>\(AM=\frac{AH^2}{AB}\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AH^2=AN\cdot AC\)
=>\(AN=\frac{AH^2}{AC}\)
ΔABC có AH là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC\)
ΔAMN vuông tại A
=>\(S_{AMN}=\frac12\cdot AM\cdot AN=\frac12\cdot\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac12\cdot\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac12\cdot\frac{AH^3}{BC}\)
=>\(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AH^3}{2\cdot BC}:\frac{AH\cdot BC}{2}=\frac{AH^3}{2\cdot BC}\cdot\frac{2}{AH\cdot BC}=\frac{AH^2}{BC^2}\)
=>\(\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}=\frac{BC^2}{AH^2}\)
I là trung điểm của BC
=>\(\frac{BI}{BC}=\frac12\)
=>\(S_{ABC}=2\cdot S_{ABI}\)
Ta có: \(\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}=\frac{BC^2}{AH^2}\)
=>\(\frac{2\cdot S_{ABI}}{S_{AMN}}=\frac{BC^2}{AH^2}\)
=>\(\frac{S_{ABI}}{S_{AMN}}=\frac{BC^2}{2AH^2}=\frac12\cdot\left(\frac{BC}{AH}\right)^2\) (1)
Từ (1),(2) suy ra \(\frac{S_{ABI}}{S_{AMN}}=\frac{1}{2\cdot\sin^2B}+\frac{1}{2cos^2HAC}\)
Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\to MN\parallel AC\) (tính chất đường trung bình). Suy ra \(\angle MNH=\angle ACB.\) Mặt khác \(HM\) là trung tuyến ứng cạnh huyền của tam giác vuông \(AHB\to HM=HB=\frac{1}{2}AB\to\Delta HMB\) cân ở M. Suy ra \(\angle MHB=\angle ABC=2\angle ACB\to\angle MHB=2\angle MNH\to\angle MNH=\angle HMN\to\Delta HMN\) cân ở H. Vậy \(HN=HM=\frac{1}{2}AB\). (ĐPCM)