Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu c) Các bạn tự vẽ hình nhé mình chỉ giải thôi:
Kẻ tia Cx vuông góc với CC'. Vẽ D là điểm đối xứng với A qua Cx. AD giao Cx tại I.
C/m C'AIC là hcn=> Góc BAD = 90 độ
=> CC'= AI
Có: D đối xứng với D qua Cx, I là giao điểm của AD và Cx
=> I là trung điểm của AD=> 2AI=AD
=> 2CC'=AD.
=> AB2+ AD2= BD2( Đlí PTG)
Ta có: Với 3 điểm B,C,D thì sẽ luôn có: (BD+CD)2>= BD2
Có: AB2+ AD2=BD2
=> (BD+CD)2>= AB2+ AD2
=> (BD+CD)2>= AB2+ (2CC')2
=> (BD+CD)2>= AB2+ 4CC'
=> (BD+CD)2- AB2>= 4CC'(1)
CMTT=> (AB+AC)2-BC2>= 4AA'(2)
và (AB+BC)2- AC2>= 4BB'(3)
Từ (1),(2) và (3) ta chứng minh đc:
(AB+BC+AC)2>= 4(AA'2+BB'2+CC'2)
=> GTNN bằng 4 <=> BC=AC; AC=AB; AB=BC<=> AB=BC=AC
=> GTNN là 4 khi tam giác ABC đều.
tự kẻ hình nha bạn
a, có \(\hept{\begin{cases}S_{HBC}=\frac{BC\cdot HA'}{2}\\S_{ABC}=\frac{BC\cdot AA'}{2}\end{cases}}\) \(\Rightarrow\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{BC\cdot HA'}{2}\div\frac{BC\cdot AA'}{2}=\frac{HA'}{AA'}\)
có tương tự ta có \(\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HB'}{BB'}\) và \(\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HC'}{CC'}\)
\(\Rightarrow\frac{S_{HAC}+S_{HBC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)
\(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)
để mjnh làm tiếp câu b
b, IN là pg của \(\widehat{AIB}\) (gt)
\(\Rightarrow\frac{NB}{IB}=\frac{NA}{AI}\) (tc)
\(\Rightarrow NB\cdot AI=IB\cdot NA\)
\(\Rightarrow NB\cdot AI\cdot CM=IB\cdot AN\cdot CM\left(1\right)\)
IM là pg của \(\widehat{AIC}\) (gt)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AI}=\frac{MC}{IC}\)
\(\Rightarrow AM\cdot IC=AI\cdot CM\)
\(\Rightarrow AM\cdot IC\cdot NB=AI\cdot CM\cdot NB\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow AN\cdot BI\cdot CM=BN\cdot CI\cdot AM\)
. vẽ Cx vuông góc với CC' tại C
. Vẽ D là điểm đối xứng của A qua Cx, cắt Cx tại E
.Xét\(\Delta ACD\) có: CE vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên \(\Delta ACD\) cân tại C => AC = CD
. Ta có tứ giác AECC' là hình chữ nhật ( Có 3 góc bằng 90 độ)
. => \(CC'=AE=\frac{1}{2}AD\)
. Xét ba điểm B, C, D, ta có: \(BD\le BC+CD\)
. Áp dụng Đl Pitago vào tam giác vuông ABD, có:
. \(AB^2+AD^2=BD^2\) => \(AB^2+\left(2CC'^2\right)\le\left(BC+CD\right)^2\)
. <=>\(AB^2+4CC'^2\le\left(BC+AC\right)^2\)
. <=> \(4CC'^2\le\left(BC+AC\right)^2-AB^2\) \(\left(1\right)\)
. C/m tương tự, ta có: \(4BB'\le\left(AB+BC\right)^2-AC^2\) \(\left(2\right)\)
. \(4AA'\le\left(AB+AC\right)^2-BC^2\) \(\left(3\right)\)
. Từ \(\left(1\right)\) , \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra: \(4\left(AA'^2+BB'^2+CC'^2\right)\le\left(AB+BC+AC\right)^2\) (Phân tích mấy cái trên kia là ra)
. Suy ra: \(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\)
. Vậy GTNN của \(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\) là 4 khi AB=BC=AC hay tam giác ABC đều
A B C A' B' C' H I M N
a) Ta có : \(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S_{HA'C}}{S_{AA'C}}=\frac{S_{BHA'}}{S_{AA'B}}=\frac{S_{HA'C}+S_{BHA'}}{S_{AA'B}+S_{AA'C}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)
Tương tự : \(\frac{HB'}{BB'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)
b) Ta có : \(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)
mà \(\frac{AI}{CI}=\frac{AM}{BM}\Rightarrow AI=\frac{AM}{CM}.CI\)
\(\Rightarrow\frac{AN}{BN}=\frac{AM}{CM}.\frac{CI}{BI}\Rightarrow AN.CM.BI=BN.AM.CI\)
A B C A' H I I x D
vẽ Cx \(\perp\)CC' ; vẽ D đối xứng với A qua Cx ; DA giao điểm Cx tại I
\(\Rightarrow\)CD = AC và tam giác C'CIA là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\)CC' = AI = ID ; \(\widehat{BAD}=90^o\)
Ta có BD \(\le\)BC + CD . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)AC = BC
\(\Rightarrow\)BD2 \(\le\)( BC + CD )2
\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)BD2 = AB2 + AD2
\(\Rightarrow\)AB2 + AD2 \(\le\)( BC + AC )2
\(\Rightarrow\)AD2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2
\(\Rightarrow\)4CC'2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2 . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AC = BC
tương tự , 4BB'2 \(\le\) ( AB + BC )2 - AC2 Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC
4AA'2 \(\le\)( AB + AC )2 - BC2 Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = AC
Suy ra : \(4\left(AA'^2+BB'^2+CC'^2\right)\le\left(AB+BC+AC\right)^2\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC = AC hay tam giác ABC đều
c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
ta có: BD BC + CD
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
AB2 + AD2 >= (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 >= (BC+AC)2
4CC’2 >=(BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 >= (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
4(AA’2 + BB’2 + CC’2)>= (AB+BC+AC)2
a) \(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S_{HA'C}}{S_{AA'C}}=\frac{S_{BHA'}}{S_{AA'B}}=\frac{S_{HA'C}+S_{BHA'}}{S_{AA'C}+S_{AA'B}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)
Tương tự : \(\frac{HB'}{BB'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)
\(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)
b) Ta có : \(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)
Mà \(\frac{AI}{CI}=\frac{AM}{CM}\)\(\Rightarrow AI=\frac{AM}{CM}.CI\)
\(\Rightarrow\frac{AN}{BN}=\frac{AM}{CM}.\frac{CI}{BI}\Rightarrow AN.CM.BI=BN.AM.CI\)
A B C D A' I C' P x B' H
Vẽ Cx \(\perp\)CC'
vẽ D đối xứng với A qua Cx ; DA cắt Cx tại P \(\Rightarrow\)CD = AC
C/m đc CC'AP là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\)CC' = AP = PD ; \(\widehat{BAD}=90^o\)
Ta có : BD \(\le\)BC + CD . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)AC = BC
\(\Rightarrow\)BD2 \(\le\)( BC + CD )2
\(\Delta BAD\)vuông A \(\Rightarrow\)BD2 = AB2 + AD2
\(\Rightarrow\)AB2 + AD2 \(\le\)( BC + AC )2
\(\Rightarrow\)AD2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2
\(\Rightarrow\)4CC'2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2 . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AC = BC
Tương tự , 4BB'2 \(\le\)( AB + BC )2 - AC2 . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC
4CC'2 \(\le\)( AB + AC )2 - BC2 . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = AC
Cộng 3 vế ta được : 4 ( AA'2 + BB'2 + CC'2 ) \(\le\)( AB + BC + AC )2
\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC = AC
a, dễ c/m SHBC/SABC=HA'/AA'
SHAB/SABC=HC'/BB'
SHAC/SABC=HB'/BB'
Cộng theo vế các đẳg thức trên ,ta có đpcm
b, Áp dụng t/c đg phân giác vào các tam giác ABC,ABI,AIC ta có :
BI/IC=AB/AC , AN/NB=AI/BI, CM/MA=IC/AI
nhân từng vế rồi rút gọn BI/IC.AN/NB.CM/MA=1 => AN.NI.CM=BN.IC.AM
Câu c) Các bạn tự vẽ hình nhé mình chỉ giải thôi:
Kẻ tia Cx vuông góc với CC'. Vẽ D là điểm đối xứng với A qua Cx. AD giao Cx tại I.
C/m C'AIC là hcn=> Góc BAD = 90 độ
=> CC'= AI
Có: D đối xứng với D qua Cx, I là giao điểm của AD và Cx
=> I là trung điểm của AD=> 2AI=AD
=> 2CC'=AD.
=> AB2+ AD2= BD2( Đlí PTG)
Ta có: Với 3 điểm B,C,D thì sẽ luôn có: (BD+CD)2>= BD2
Có: AB2+ AD2=BD2
=> (BD+CD)2>= AB2+ AD2
=> (BD+CD)2>= AB2+ (2CC')2
=> (BD+CD)2>= AB2+ 4CC'
=> (BD+CD)2- AB2>= 4CC'(1)
CMTT=> (AB+AC)2-BC2>= 4AA'(2)
và (AB+BC)2- AC2>= 4BB'(3)
Từ (1),(2) và (3) ta chứng minh đc:
(AB+BC+AC)2>= 4(AA'2+BB'2+CC'2)
=> GTNN bằng 4 <=> BC=AC; AC=AB; AB=BC<=> AB=BC=AC
=> GTNN là 4 khi tam giác ABC đều.
Hơi khó hiểu các bạn thông cảm!
bn ơi cho mk hỏi tại sao cái chỗ AB/AC = IC/IB = 1
bn ơi cho mk hỏi tại sao cái chỗ AB/AC = IC/IB = 1
sai r bạn ới
- $AA' = 3$
- $CC' = 2\sqrt{2}$
- $\frac{BH}{HB'} = 5$
Ta cần tìm diện tích của tam giác $ABC$.
Trước tiên, ta có thể sử dụng công thức về diện tích tam giác:
$S = \frac{1}{2} \cdot base \cdot height$
Trong trường hợp này, ta có thể chọn $BC$ làm base và $AA'$ làm height.
Ta có:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA'$
Tuy nhiên, ta không biết giá trị của $BC$. Để tìm $BC$, ta có thể sử dụng thông tin về đường cao $CC'$.
Ta có:
$CC' = 2\sqrt{2}$
Vì $CC'$ là đường cao, nên nó vuông góc với $BC$. Do đó, ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tìm $BC$:
$BC^2 = CC'^2 + CB'^2$
Tuy nhiên, ta không biết giá trị của $CB'$. Để tìm $CB'$, ta có thể sử dụng thông tin về đường cao $AA'$ và tỷ lệ $\frac{BH}{HB'} = 5$.
Ta có:
$\frac{BH}{HB'} = 5 \Rightarrow \frac{AA'}{CC'} = 5 \Rightarrow \frac{3}{2\sqrt{2}} = 5$
Từ đây, ta có thể tìm $CB'$:
$CB' = \frac{3}{5} \cdot CC' = \frac{3}{5} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{6\sqrt{2}}{5}$
Bây giờ, ta có thể tìm $BC$:
$BC^2 = CC'^2 + CB'^2 = (2\sqrt{2})^2 + \left(\frac{6\sqrt{2}}{5}\right)^2 = 8 + \frac{72}{25} = \frac{200 + 72}{25} = \frac{272}{25}$
$BC = \sqrt{\frac{272}{25}} = \frac{4\sqrt{17}}{5}$
Cuối cùng, ta có thể tìm diện tích của tam giác $ABC$:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA' = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{17}}{5} \cdot 3 = \frac{6\sqrt{17}}{5}$
Vậy diện tích của tam giác $ABC$ là $\frac{6\sqrt{17}}{5}$.
Trời ơi làm sao xóa cái này vậy😭